I3 Probabilidades EYP1112

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I3 Probabilidades EYP1112, 2s 2008

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DressedToKill Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2010, 07:09 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434	La prueba de la muerte, cuando Olea estaba enojado. $TEX: \bf{Problema 1}$ $TEX: \noindent<br />Sean $\{Z_t\}$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas Normales con valor esperado cero y varianza $\sigma^2$ para todo $t \in \mathbb{Z}$. Se definen las variables aleatorias<br />$$X_t = Z_t + \theta Z_{t-1}, Y_t = \displaystyle\sum_{j=0}^{\infty} (-\theta)^{-j}X_{t-j}$$<br />con $\|\theta\| > 1$.<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] Encuentre $Cov(X_t, X_{t+k})$, para $k \in \mathbb{Z}$.<br />\item[(b)] Muestre que $Var(Y_t) = \theta^2 \sigma^2$.<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: \bf{Problema 2}$ $TEX: \noindent<br />Sean $X_1, \cdots, X_n$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas normales con valor esperado cero y varianza uno. Se definen nuevas variables aleatorias $Y_i$ como<br />$$Y_i = 4 \Phi(X_i), i = 1, \cdots, n$$<br />y una función de ellas dada por $U = \displaystyle\prod_{i=1}^n Y_i$. \\<br />Nota: $\Phi(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x {\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-z^2/2}} dz$<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] Calcule el valor esperado y la varianza de $U$.<br />\item[(b)] Obtenga la función de densidad de $U$.<br />\item[©] Para $n = 3$, calcule el valor esperado de la variable aleatoria \\$M = \max \{Y_1, \min \{Y_2, Y_3\} \}$.<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: \bf{Problema 3}$ $TEX: \noindent<br />Sea $X$ una variable aleatoria con distribución $Gamma(\alpha,1)$ e $Y$ una variable aleatoria cuya distribución condicional dado que la variable aleatoria $X = x$ es $Poisson(x)$.<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] Pruebe que $P(Y=y) = \dfrac{\Gamma(\alpha+y)}{y! \Gamma(\alpha) 2^{\alpha + y}}$ con $y = 0, 1, 2, \cdots$.<br />\item[(b)] Obtenga la distribución condicional de $X$ dado que $Y = y$, con $y = 0, 1, 2, \cdots$. ¿Reconoce algún modelo conocido? Si es así, identifiquelo.<br />\item[©] Muestre a partir del cálculo del valor esperado de $Y$ de dos maneras distintas que<br />$$\displaystyle\sum_{y=1}^{\infty} \dbinom{y+\alpha-1}{\alpha} \dfrac{1}{2^y} = 2^{\alpha},$$<br />para $\alpha = 1, 2, 3, \cdots$.<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: \bf{Problema 4}$ $TEX: \noindent<br />Sean $X_1, \cdots, X_n$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas uniformemente en $(0, \theta)$, con $\theta > 0$ conocido. Considere los estadísticos de orden $X_{(1)}$ (mínimo) y $X_{(n)}$ (máximo). En este problema, usted debe determinar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria \\$U = X_{(n)}-X_{(1)}$. Para ello, defina la variable aleatoria auxiliar \\$V = \dfrac{X_{(1)}+X_{(n)}}{2}$ y haga lo siguiente:<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] Muestre que la función de densidad conjunta del vector aleatorio $(X_{(1)}, X_{(n)})$ es:<br />$$f_{X_{(1)},X_{(n)}}(t_1, t_n) = \dfrac{n(n-1)}{\theta^n}(t_n-t_1)^{n-2}, 0 < t_1 < t_n < \theta$$<br />y $0$ en otro caso.<br />\item[(b)] Use el Teorema de Cambio de Variable bivariado para mostrar que la función de densidad conjunta de $(U,V)$ es:<br />$$f_{U,V}(u,v) = \dfrac{n(n-1)u^{n-2}}{\theta^n}(t_n-t_1)^{n-2}, 0 < u < \theta, u/2 < v < \theta - u/2$$<br />y $0$ en otro caso.<br />\item[©] Finalmente, muestre que la función de densidad marginal de $U$ es:<br />y $$f_U(u) = \dfrac{n(n-1)}{\theta^n}(\theta-u)u^{n-2}, 0 < u <\theta$$<br />$0$ en otro caso.<br />\end{enumerate}<br />$ Como dato, la media de la pregunta 2 fue 1,04 haha. -------------------- http://www.youtube.com/watch?v=sp_WV91jx8E...feature=related