 I1 Probabilidades EYP1112, 2s 2008 |
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 Mar 30 2010, 05:50 PM
Publicado:
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434  |
Cuando eran cursos separados...
 ![TEX: \noindent<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] Sea $P$ una función de probabilidad. Muestre que para un evento cualquiera $A$ y una partición $C_1, C_2, C_3, \cdots$ disjunta a pares de $\Omega$ se tiene que<br />$$P(A) = \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} P(A \cap C_i)$$<br />\item[(b)] Sean $A_1$ y $A_2$ eventos cualquiera. Muestre que:<br />\begin{enumerate}<br />\item[i.] $P(A_1 \cup A_2) \le P(A_1)+P(A_2)$.<br />\item[ii.] Si $A_1 \subset A_2$, entonces $P(A_1) \le P(A_2)$.<br />\item[iii.] Si $A_1 \subset A_2$, entonces $P(A_2 \cap A_1^c) = P(A_2)-P(_1)$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />](./tex/04f4be6478cdf48cfccb0c9a9f87bad6.png)  ![TEX: \noindent<br />En un programa de TV dos participantes $A$ y $B$ están disputando quién gana el premio principal. Para el juego cuentan con dos dados equilibrados y una urna con $n$ bolitas negras y $b$ bolitas blancas. \\ \\<br />El juego consiste en lanzar ambos dados y luego extraer dos bolitas de la urna, tarea que se le encarga a la modelo del programa. La extracción de las bolitas es sin reemplazo no importando el orden. Si la suma de los resultados de los dados es mayor o igual a $7$, o bien si es menor o igual a $3$, entonces gana $B$ sí se obtiene alguna bolita blanca, en caso contrario gana $A$. Por otra parte, si la suma de los resultados de los dados es mayor que $3$ y menor que $7$, entonces gana $A$ si se obtienen bolitas de distinto color, mientras que en caso contrario gana $B$.<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] Muestre que para que ambos jugadores tengan la misma probabilidad de ganar se debe cumplir que $n = 3b$.<br />\end{enumerate}<br />Suponga ahora que la urna tiene $6$ bolitas negras y $2$ blancas.<br />\begin{enumerate}<br />\item[(b)] Dado que $A$ ganó el juego, calcule la probabilidad que la suma de los resultados de los dados hayá sido mayor o igual a $7$.<br />\item[©] Dado que $B$ ganó el juego, calcule la probabilidad de que la suma de los resultados de los dados haya sido menor que $6$.<br />\end{enumerate}<br />](./tex/ea8a2cb9e1f821bb2e71337f143d6f24.png)  ![TEX: \noindent<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] Se hacen $N$ lanzamientos independientes de un dado equilibrado de seis caras. Sea $Z$ la variable aleatoria definida como el mínimo valor registrado en los $N$ lanzamientos. Calcule la probabilidad que el menor de los números registrados sea igual a $k$, con $k \in \{1, \cdots, 6\}$ y encuentre la función de distribución acumulada de la variable aleatoria $Z$.<br /><br />\item[(b)] Usted ahora dispone de $N$ dados equilibrados que se lanzan simultáneamente de manera independiente. Cada dado queda fijo y no participa en los siguientes lanzamientos cuando muestra el número $6$ por primera vez. El proceso de lanzamientos simultáneos se detiene cuando uno o más dados quedan fijos. ¿Cuál es la probabilidad que el proceso de lanzamientos termine en el $k$-ésimo lanzamiento?<br />\end{enumerate}<br />](./tex/f3c9e416955cc9f2d0b9a13200bebdbb.png)  ![TEX: \noindent<br />Dada la buena campaña de nuestra selección de fútbol en la era Bielsa el sponsor oficial piensa lanzar un nuevo diseño de camiseta, pero en la elaboración de la primera partida de tamaño $4n$, se detectaron $4$ camisetas con fallas las cuales no fueron separadas y se mezclaron con el resto. Para remediar este error se enviarion lotes de tamaño $n$ a $4$ especialistas en detección de fallas: $A$, $B$, $C$ y $D$.<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] ¿Cúal es la probabilidad de que cada especialista observe exactamente una camiseta con falla?<br />\item[(b)] Calcule la probabilidad de que el especialista $A$ y el especialista $B$ observen $2$ camisetas con falla cada uno.<br />\end{enumerate}<br />](./tex/e62c20f412dd0465fc385d2d4fec70cc.png) En la pregunta  se daba el siguiente hint:Escribí caleta haha. -------------------- |
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Mar 30 2010, 06:21 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:  |
P1a)
![TEX: \noindent Como $\left(C_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ es una partición de $\Omega$, se tiene que<br />\[\Omega=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\Rightarrow A=A\cap \Omega=A\cap \bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(A\cap C_n\right).\]<br />Notemos que $A\cap C_n\subseteq C_n$. Luego, como $\left(C_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ son disjuntos de a dos, vale que<br />\[\left(A\cap C_i\right)\cap\left(A\cap C_j\right)=\emptyset,\forall i\not=j.\]<br />Así,<br />\[P(A)=P\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(A\cap C_n\right)\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}P\left(A\cap C_n\right). \qquad \square\]<br /><br />](./tex/c4492ce04304de19558178e196f69419.png) P1bi) ![TEX: \noindent Sabemos que \[P\left(A_1\cup A_2\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)-\underbrace{P\left(A_1\cap A_2\right)}_{\in\mathbb{R}^+_0}\leq P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right). \qquad \square\]](./tex/e02e111b87897d56dbc1b625bf26b5ff.png) P1bii) ![TEX: \noindent Notemos que $A_2=A_1\cup \left(A_1^C\cap A_2\right)$ y además, forman una partición de $A_2$. Luego,<br />\[P\left(A_2\right)=P\left(A_1\right)+\underbrace{P\left(A_1^C\cap A_2\right)}_{\in\mathbb{R}^+_0}\geq P\left(A_1\right). \qquad \square\]](./tex/aa8a50f90b3fc680e6e284bf767f664f.png) P1biii) 
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![TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]](./tex/e0e88dba678ca3ead120b088f41191b2.png)
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