desigualdad compleja - Foro fmat.cl

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desigualdad compleja, integrales

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ccmagnus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 21 2010, 01:25 AM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 92 Registrado: 11-October 08 Miembro Nº: 35.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: me piden mostrar que$ $TEX: $$\|\int _{\gamma }sen(z)\|\le \frac{3}{4}\log (2)$$$ $TEX: $$\text{,donde }\gamma \text{ es el segmento}$$$ $TEX: $$\text{en el eje imaginario que une el origen con log(2)i}$$$ si me puden ayudar se los agradeceria,yo tengo esto $TEX: $$\|\int _{\gamma }sen(z)\|\le \int _{\gamma }\|sen(z)\|\le \frac{3}{4}\log (2)$$$ $TEX: $$e^{\int _{\gamma }\|sen(z)\|}\le 2^{3/4}$$$ $TEX: $$(e^{\int _{\gamma }\|sen(z)\|})^{4/3}\le 2$$$ Pero me serviria que me ayudasen a llegar a demostrar la siguiente desigualdad $TEX: $$\|\operatorname{s}en(z)\|\le \frac{3}{4}$$$ $TEX: que es lo mismo que$ $TEX: $$\|\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\|\le \frac{3}{4}$$$ Mensaje modificado por ccmagnus el Mar 21 2010, 01:49 PM

aleph_omega Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 21 2010, 01:57 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 560 Registrado: 24-December 09 Miembro Nº: 64.629	Te sirve el hecho que $TEX: $\|sin(z)\|\leq 1$$ ? y cuanto vale $TEX: $$\int_{\gamma} 1 $$$ ??

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 21 2010, 10:23 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	@aleph_omega: El seno es complejo y por tanto esa desigualdad no es siempre cierta. @ccmagnus: Recuerda que una manera de acotar el módulo de integrales de funciones continuas sobre contornos finitos es sacando el máximo de la función sobre el contorno y multiplicando por la longitud del contorno. En tu caso, el factor log 2 es precisamente la longitud del segmento de recta que une a 0 con log 2 y como bien dices todo se reduce a probar que la desigualdad $TEX: $\|\sin (z)\| \leq 3/4$$ es cierta en el segmento comprendido entre 0 y log 2. Claramente, dicha desigualdad es equivalente a $TEX: $\displaystyle \|e^{2iz}-1\| \leq \|e^{iz}\|(3/2).$$ Ahora bien, al tenerse que la parte real de todo complejo sobre el contorno de integración es 0, la desigualdad se reduce a $TEX: $\displaystyle \|e^{2i(iy)}-1\| \leq \|e^{i(iy)}\|(3/2)$$ cuando $TEX: $\displaystyle y \in [0, \log 2]$$ . Eso último puede ponerse a su vez como $TEX: $\|e^{-2y}-1\| \leq e^{-y}(3/2)$$ , lo que en turno es equivalente a $TEX: $1-e^{-2y} \leq e^{-y}(3/2).$$ Multiplicando por $TEX: $e^{y}$$ en ambos lados de la desigualdad previa tienes $TEX: $e^{y}-e^{-y} \leq (3/2)$$ . El establecimiento de esa última formulación de tu duda original es como sigue: al ser y una variable real entre 0 y log 2 se cumple que $TEX: $1 \leq e^{y} \leq 2$$ y $TEX: $-1 \leq -e^{-y} \leq -(1/2)$$ y de ahí el resultado. Espero que estas líneas te hayan sido de ayuda. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

ccmagnus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 22 2010, 12:20 AM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 92 Registrado: 11-October 08 Miembro Nº: 35.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muchas gracias $TEX: coquitao$ se agradece tu respuesta.

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