Propuesto 150 - Foro fmat.cl

Propuesto 150, Convergencia y evaluación

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 17 2010, 12:09 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Deduzca la convergencia o divergencia de }}S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^n \ln \left( {1 + \tfrac{1}<br />{n}} \right)} {\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{De haber convergencia, evaluar }}S.{\text{ }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 18 2010, 09:30 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	La convergencia (condicional) de la serie es una consecuencia inmediata del criterio de Leibniz. Por otra parte, al tenerse que la N-ésima suma parcial de la serie $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) $$ es igual a $TEX: $\ln (N+1)$$ se sigue que la serie no converge absolutamente. Procedemos ahora a calcular la suma S de la serie. Si n es par y $TEX: $S_{n}$$ denota la n-ésima suma parcial de dicha serie se tiene que $TEX: $\displaystyle e^{S_{n}} = e^{-\ln(2/1)+\ln(3/2)-...\pm \ln ([N+1]/N)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{n-1}{n} $$ (Claramente, una fórmula análoga vale cuando $TEX: $n \equiv 1 \mod 2$$ ). De la fórmula de Wallis se sigue entonces que $TEX: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} e^{S_{n}} = \frac{2}{\pi}$$ . Luego, $TEX: $\displaystyle \mathbf{S} = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \ln \frac{2}{\pi}$$ , como se había pedido calcular. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 18 2010, 09:41 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Очень хорошо, fácil y rápido (bien hecho José) Pasar a resueltos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

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