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APMO 2010

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2010, 10:17 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aquí les traigo la APMO 2010, que por lo demás no pude asistir por tema de que vivo muy al norte xD, bueno les dejo el link al archivo con la prueba, pero en la tarde la redacto con el estilo que tiene FMAT para estas pruebas. _______________________________________________________________________ $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 1$} Dado un triángulo $ABC$ con $\angle BAC \not = 90°$. Sea $O$ el circuncentro del $\triangle ABC$ y sea $\Gamma$ el circuncírculo del $\triangle BOC$. Suponga que $\Gamma$ intersecta a los segmentos $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente con $P$ distinto de $B$ y $Q$ distinto de $C$. Sea $ON$ un diámetro del círculo $\Gamma$. Pruebe que el cuadrilátero $APNQ$ es un paralelógramo.$ Solución: (Pendiente) $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 2$} Para un entero positivo $k$, llámese a un entero una "$k$-ésima potencia pura" si puede ser representado como $m^k$ para algún entero $m$. Muestre que para cualquier entero positivo $n$, existen $n$ enteros positivos todos distintos entre sí, tales que su suma es una $2009$-ésima potencia pura y su producto es una $2010$-ésima potencia pura.$ Solución: $TEX: Sea $a_k=C^{2010N}\cdot 2^{2010(k-1)}$, donde $C$ y $N$ son enteros positivos. Veamos que $$\displaystyle \prod_{k=1}^n a_k=C^{2010Nn}\cdot 2^{1005n(n-1)} ()$$<br /><br />Como $n(n-1)$ es siempre par, entonces $2010\|1005n(n-1)$ y por lo tanto la expresión () es una 2010-ésima potencia pura. Por otro lado, $$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=C^{2010N}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}2^{2010k}=C^{2010N}\cdot \dfrac{ 2^{2010n}-1}{2^{2010}-1}()$$<br /><br />Para que () sea una 2009-ésima potencia pura, podemos asumir que $C=\dfrac {2^{2010n}-1}{2^{2010}-1}$, y entonces: $$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=(\dfrac{2^{2010n}-1}{2^{2010}-1})^{2010N+1}$$ <br /><br />Basta escoger un $N$ adecuado, tal que $2009\|2010N+1$, o sea, $N\equiv -1 \pmod {2009}$. Tomando $N=2008$, obtenemos que la secuencia $$a_k=(\dfrac{2^{2010n}-1}{2^{2010}-1})^{2008\cdot 2010}\cdot 2^{2010(k-1)}$$<br /><br />No es complicado ver que la secuencia $a_k$ cumple las dos condiciones estipuladas. $\blacksquare$$ $TEX: $Resuelto$ $por$ $\boxed{~Fatal Collapse~}$$ $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 3$} Sea $n$ un entero positivo. $n$ personas participan de cierta actividad. Para algún par de participantes se sabe que o bien ambos se conocen mutuamente, o bien no se conocen. ¿Cuál es el número máximo posible de pares para los cuales los dos no se conocen, pero tienen un conocido común entre los participantes?.$ Solución: (Pendiente) $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 4$} Sea $ABC$ un triángulo acutángulo que satisface la condición: $AB>BC$ y $AC>BC$. Denote como $O$ y $H$ al circuncentro y ortocentro del $\triangle ABC$ respectivamente. Suponga que el circuncírculo del $\triangle AHC$ intersecta a $AB$ en $M\not=A$, y el circuncírculo del $\triangle AHB$ intersecta a $AC$ en $N\not = A$. Pruebe que el circuncentro del $\triangle MNH$, yace sobre la recta $OH$.$ Solución: (Pendiente) $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 5$} Encuentre todas las funciones $f: \ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, tales que para todas las ternas $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ se cumple que:\\<br />\\$ $TEX: $f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz-yz)$.$ Solución: (Pendiente) Mi solución para el 1 antes que me ganen. APMO_1_1.png ( 59.59k ) Número de descargas: 8 $TEX: \noindent Sea $\angle{BAC}=\alpha \implies \angle{BOC}=2 \alpha$. Sea $M$ el punto medio de $\overline {BC}$, luego $O$, $M$, $N$ son colineales , pues la recta $ON$ es simetral compartida de $\triangle ABC$ y $\triangle BOC$, luego $\overleftrightarrow {ON}$ es bisectriz del $\angle BOC$, luego $\angle BON=\angle CON=\alpha \implies \angle BPN=\angle NQC=\alpha$ y se concluye. $\blacksquare$$ Saludos, actualizaré el formato de la prueba. Saludos a todos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2010, 11:46 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Oh, ke onda no sabia ke la prueba era hoy, sabe alguien si esta vez los chilenos si pudimos rendir la prueba? Saludos PD: p1 fail

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 20 2010, 02:42 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ Mar 15 2010, 12:17 PM) $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 2$} Para un entero positivo $k$, llámese a un entero una "$k$-ésima potencia pura" si puede ser representado como $m^k$ para algún entero $m$. Muestre que para cualquier entero positivo $n$, existen $n$ enteros positivos todos distintos entre sí, tales que su suma es una $2009$-ésima potencia pura y su producto es una $2010$-ésima potencia pura.$ $TEX: Sea $a_k=C^{2010N}\cdot 2^{2010(k-1)}$, donde $C$ y $N$ son enteros positivos. Veamos que $$\displaystyle \prod_{k=1}^n a_k=C^{2010Nn}\cdot 2^{1005n(n-1)} ()$$<br /><br />Como $n(n-1)$ es siempre par, entonces $2010\|1005n(n-1)$ y por lo tanto la expresión () es una 2010-ésima potencia pura. Por otro lado, $$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=C^{2010N}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}2^{2010k}=C^{2010N}\cdot \dfrac{ 2^{2010n}-1}{2^{2010}-1}()$$<br /><br />Para que () sea una 2009-ésima potencia pura, podemos asumir que $C=\dfrac {2^{2010n}-1}{2^{2010}-1}$, y entonces: $$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=(\dfrac{2^{2010n}-1}{2^{2010}-1})^{2010N+1}$$ <br /><br />Basta escoger un $N$ adecuado, tal que $2009\|2010N+1$, o sea, $N\equiv -1 \pmod {2009}$. Tomando $N=2008$, obtenemos que la secuencia $$a_k=(\dfrac{2^{2010n}-1}{2^{2010}-1})^{2008\cdot 2010}\cdot 2^{2010(k-1)}$$<br /><br />No es complicado ver que la secuencia $a_k$ cumple las dos condiciones estipuladas. $\blacksquare$$ Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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