XXXIII IMO (1992) - Foro fmat.cl

XXXIII IMO (1992), Moscú, Rusia

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 13 2010, 09:15 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	33ª OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Moscú, Rusia, 1992 Primera Prueba: 15 de julio de 1992 Problema 1: Encuentre todas las ternas $TEX: $(a,b,c)$$ de enteros, con $TEX: $1<a<b<c$$ tales que $TEX: $abc-1$$ es un múltiplo de $TEX: $(a-1)(b-1)(c-1)$$ Problema 2: Encuentre todas las funciones $TEX: $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$$ tales que: $TEX: $f(x^2+f(y))=y+f(x)^2$$ para todo $TEX: $x,y$$ en $TEX: $\mathbb {R}$$ Problema 3: Dados 9 puntos en el espacio, tales que no existan cuatro de ellos coplanares, encuentre el menor natural $TEX: $n$$ tales que para cualquier coloracion con azul y blanco de $TEX: $n$$ aristas dibujadas entre esos 9 puntos, exista siempre un triángulo monocromático. Segunda Prueba: 16 de julio de 1992 Problema 4: En el plano, sea $TEX: $w$$ una circunferencia fija, $TEX: $l$$ una recta tangente a $TEX: $w$$ y $TEX: $M$$ un punto sobre $TEX: $l$$ . Encuentre el lugar geométrico de los puntos $TEX: $P$$ para los cuales existen dos puntos $TEX: $Q,R$$ sobre $TEX: $l$$ tales que $TEX: $M$$ es el punto medio de $TEX: $\overline {QR}$$ y $TEX: $w$$ es el incírculo del $TEX: $\triangle PQR$$ Problema 5: Sea $TEX: $S$$ un subconjunto finito del espacio euclídeo de los puntos $TEX: $(x,y,z)$$ con coordenadas enteras. Llamemos $TEX: $S_1,S_2,S_3$$ a las proyecciones de $TEX: $S$$ sobre los planos $TEX: $yz,zx,xy$$ , respectivamente. Si $TEX: $\|X\|$$ denota la cardinalidad del conjunto $TEX: $X$$ , pruebe que: $TEX: $\|S\|^2\leq \|S_1\|\|S_2\|\|S_3\|$$ Problema 6: Para cada entero positivo $TEX: $n$$ , denotemos por $TEX: $T(n)$$ al mayor entero tal que para todo entero positivo $TEX: $k\leq T(n)$$ , $TEX: $n^2$$ puede ser escrito como la suma de $TEX: $k$$ cuadrados perfectos. a) Pruebe que para todo $TEX: $n>3$$ , se cumple que $TEX: $T(n)\leq n^2-14$$ b) Encuentre un natural $TEX: $n$$ tal que $TEX: $T(n)+14=n^2$$ c) Demuestre que la ecuacion $TEX: $T(n)+14=n^2$$ admite infinitas soluciones en los enteros positivos Resumen de soluciones Problema 1: Pendiente de solución. Problema 2: Pendiente de solución. Problema 3: Pendiente de solución. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. Problema 6: Pendiente de solución. Cualquier error de traduccion, o detalle que no se entienda, favor enviar MP. Recordar que los enunciados no son textuales. Saludos. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Respuestas

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 25 2014, 11:16 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	relax, el lema es bien sabido y la demo la hallas en varios lugares... Entre ellos el pdf "three geometric lemmas" -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

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~Fatal_Collapse~ XXXIII IMO (1992) Mar 13 2010, 09:15 PM

Diego Navarro SP3: Vease desde el segundo parrafo en adelante de... Sep 30 2010, 06:52 PM

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Pedantic Anarchy Problema 1:Como 1<a<b<c, si a>3 se ti... Jan 18 2011, 05:25 PM

asdayuyi Pal 4 Antes que nada enunciaremos un lema que nos... Jan 25 2014, 12:18 AM

Kaissa relax, el lema es bien sabido y la demo la hallas ... Jan 25 2014, 11:16 AM

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