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III IMO (1961), Veszprém, Hungría

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 13 2010, 12:48 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	3ª OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Veszprém, Hungría, 1961 Primera Prueba: Lunes 6 de julio de 1961 Problema 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $TEX: \begin{tabular}{rcl\|}<br />$x+y+z$ & = & $a$ \\<br />$x^2+y^2+z^2$ & = & $b^2$ \\<br />$xy$ & = & $z^2$ \\ \hline<br />\end{tabular}<br />$ donde $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ son constantes. De también las condiciones que deben cumplir $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ para que las soluciones del sistema sean números positivos distintos. Problema 2: Sean $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ y $TEX: $c$$ los lados de un triángulo y $TEX: $T$$ su área. Probar que $TEX: $a^2+b^2+c^2\geq4 \sqrt{3}T$$ . ¿En qué casos se cumple ésta igualdad? Problema 3: Resolver la ecuación $TEX: $\cos^n x+ \sin^n x=1$$ , donde $TEX: $n \in \mathbb{N}$$ . Segunda Prueba: Jueves 16 de julio de 1961 Problema 4: Considere un triángulo $TEX: $P_1P_2P_3$$ y un punto $TEX: $P$$ dentro del triángulo. Las rectas $TEX: $P_1P$$ , $TEX: $P_2P$$ y $TEX: $P_3P$$ intercectan al lado opuesto en los puntos $TEX: $Q_1$$ , $TEX: $Q_2$$ y $TEX: $Q_3$$ , respectivamente. Probar que, de los números de: $TEX: $\dfrac{P_1P}{PQ_1}$$ , $TEX: $\dfrac{P_2P}{PQ_2}$$ , $TEX: $\dfrac{P_3P}{PQ_3}$$ al menos uno sea $TEX: $\geq 2$$ y al menos uno sea $TEX: $\leq 2$$ . Problema 5: Construír un triángulo $TEX: $ABC$$ si $TEX: $AC=b$$ $TEX: $AB=c$$ y $TEX: $\measuredangle AMB= \omega$$ , donde $TEX: $M$$ es el punto medio de $TEX: $BC$$ y $TEX: $\omega >90º$$ . Probar que una solución exista si y solo si: $TEX: $b\tan \dfrac{\omega}{2} \leq c <b$$ ¿En qué casos se cumple esta igualdad? Problema 6: Considere un plano $TEX: $\epsilon$$ y tres puntos no colineales $TEX: $A$$ , $TEX: $B$$ y $TEX: $C$$ en el mismo lado de $TEX: $\epsilon$$ . Suponga que el plano determinado por estos tres puntos no es paralelo a $TEX: $\epsilon$$ . En el plano se toman tres puntos arbitrarios $TEX: $A'$$ , $TEX: $B'$$ y $TEX: $C$'$ . Sean $TEX: $L$$ , $TEX: $M$$ y $TEX: $N$$ los puntos medios de los segmentos $TEX: $AA'$$ , $TEX: $BB'$$ y $TEX: $CC'$$ . Sea G el centroide del triángulo $TEX: $LMN$$ (Nótese que no consideramos las posiciones de $TEX: $A'$$ , $TEX: $B'$$ y $TEX: $C'$$ en las que éstas no forman un triángulo). ¿Cuál es el lugar geométrico del punto $TEX: $G$$ ya que $TEX: $A'$$ , $TEX: $B'$$ y $TEX: $C$'$ varían independientemente en el plano $TEX: $\epsilon$$ . Resumen de soluciones Problema 1: Pendiente de solución. Problema 2: Pendiente de solución. Problema 3: Pendiente de solución. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. Problema 6: Pendiente de solución. Mensaje modificado por einstenio16 el Jan 12 2023, 11:14 AM -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

Nabodorbuco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 27 2011, 03:14 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 513 Registrado: 25-April 08 Desde: CSMC Miembro Nº: 21.189 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	En la pregunta 2 deberia decir $TEX: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3}T$$ -------------------- FunGeometry SIEMPRE CON LAS MEJORES INTENCIONES DE AYUDAR. ATTE. NABODORBUCO EL TERCER OJO GoGeometry LA IDEA ES QUE NO ESPERES QUE FMAT RESUELVA TUS TAREAS, ESCRIBE SIEMPRE CUALES SON TUS INQUIETUDES

luis_fz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2011, 05:18 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 31-May 10 Desde: San antonio Miembro Nº: 71.730 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	eso mismo pensé después de haber postiado xD Mensaje modificado por luis_fz el May 24 2011, 05:59 PM

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2011, 05:52 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solo $TEX: $n$$ es natural, los catetos no necesariamente. Recuerda que FLT dice: Si tienes $TEX: $x,y,z,n \in \mathbb{N} \Rightarrow x^n + y^n \ne z^n, (n > 2)$$ Saludos. Mensaje modificado por El Geek el May 25 2011, 12:27 AM -------------------- Me voy, me jui.

master_c	May 25 2011, 08:20 PM Publicado: #5
Invitado	Como a ni b no son fijos, dividimos el sistema en tres casos caso 1) si $TEX: $a = 0$$ $TEX: $x + y + z = 0 \wedge x^2 + y^2 + z^2 = b^2 \wedge xy = z^2 $$ mezclando la ec.1 con la ec.2 se tiene que $TEX: $ - \frac{1}{2}b^2 = z^2 - z^2 = 0 \Rightarrow b = 0$$ Entonces se obtiene un sistema trivial en el cual $TEX: $x + y + z = 0 \wedge x^2 + y^2 + z^2 = 0 \wedge xy = z^2$$ mezclando la ec.3 con la ec.2 es trivial que $TEX: $x^2 + y^2 + xy = \frac{1}{4}\left( {2x + y} \right)^2 + \frac{{3y^2 }}{4} = 0 \Rightarrow x = y = z = 0$$ por tanto si $TEX: $a = 0$$ implica necesariamente que $TEX: $b = 0$$ y se obtiene una solucion trivial la cual no cumple con el requisito del problema caso 2) si $TEX: $b = 0$$ $TEX: $x + y + z = a \wedge x^2 + y^2 + z^2 = 0 \wedge xy = z^2 $$ mezclando la ec.1 con la ec.2 se tiene $TEX: $a\left( {z - a} \right) = 0 \Rightarrow a = 0 \vee z = a$$ de aqui de derivan dos casos mas en el primero se obtiene idem anterior el cual se probo que no nos sirve, basta solo analizar el segundo caso si $TEX: $z = a$$ se tiene $TEX: $x + y = 0 \wedge x^2 + y^2 + a^2 = 0 \wedge xy = a^2$$ mezclando ecs se obtiene que $TEX: $ a = 0 $$ y se llega al caso 1 $TEX: $x = y = z = 0 $$ el cual no nos interesa por lo tanto para ambos casos independientemente de cual se elija como nulo siempre se termina llegando a que la otra constante sea nula y no viene al caso entonces, sabemos que para que se cumpla la condicion de que las soluciones del sistema sean distintas y positivas a y b deben ser no nulos por separado o ambos ala vez. ahora si a y b son no nulos tenemos el sistema $TEX: $x + y + z = a \wedge x^2 + y^2 + z^2 = b^2 \wedge xy = z^2 $$ caso 3) $TEX: $a = b$$ se encuentra rapidamente que $TEX: $z = 0$$ y las soluciones al sistema son $TEX: $\left( {x,y,z} \right) = \left\{ {\left( {0,a,0} \right);\left( {a,0,0} \right);\left( {\frac{{a + \left\| a \right\|}}{2},\frac{{a - \left\| a \right\|}}{2},0} \right)} \right\}$$ las primeras dos soluciones no nos sirven ya que no son ni positivas ni distintas para ninguna a, la tercera solucion es distinta para todo a no nulo, pero $TEX: $z = 0$$ no cumple la condicion ya que no es positivo. caso 4) $TEX: $a \ne b$$ $TEX: $x^2 + y^2 + z^2 + 2\left( {z^2 + \left( {a - z} \right)z} \right) = b^2 + 2az = a^2 \Rightarrow z =\frac{{a^2 - b^2 }}{{2a}}$$ puesto que a es no nulo tenemos el sistema $TEX: $x + y = \frac{{a^2 + b^2 }}{{2a}} \wedge x^2 + y^2 = b^2 - \left( {\frac{{a^2 - b^2 }}{{2a}}} \right)^2 \wedge xy = \left( {\frac{{a^2 - b^2 }}{{2a}}} \right)^2$$ $TEX: $$<br />\left( {x,y,z} \right) = \left( {\frac{{a^2 + b^2 }}<br />{{4a}} \pm \frac{1}<br />{{4\left\| a \right\|}}\sqrt {\left( {3a^2 - b^2 } \right)\left( {3b^2 - a} \right)} ,\frac{{a^2 + b^2 }}<br />{{4a}} \mp \frac{1}<br />{{4\left\| a \right\|}}\sqrt {\left( {3a^2 - b^2 } \right)\left( {3b^2 - a} \right)} ,\frac{{a^2 - b^2 }}<br />{{2a}}} \right)<br />$$$ ahora faltaria decidir cuando es positiva y distinta, mas rato cuando tenga tiempo termino... Mensaje modificado por master_c el May 25 2011, 08:23 PM

panchovega_ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 24 2016, 03:29 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 10 Registrado: 30-December 14 Desde: Ovalle Miembro Nº: 135.058 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema $2$ :$ Sea $TEX: $ABC$$ un triangulo cualquiera digamos $TEX: $a$$ el mayor de sus catetos, a la vez sea $TEX: $P_A$$ el pie de la altura desde $TEX: $A$$ . Definamos $TEX: $x\ =\ BP$$ $TEX: $ -$$ $TEX: $\frac {a} {2}$$ e $TEX: $y\ =\ h_a\ -$$ $TEX: $\frac{a\sqrt{3}} {2}$$ . Aplicando Pitagoras a los triangulos $TEX: $ABP$$ y $TEX: $APC$$ tenemos que : $TEX: $a^{2}\ +b^{2}\ +c^{2}\ - 4T$$ $TEX: $\sqrt{3}$$ $TEX: $=\ a^{2}\ +\ (\frac{a} {2}\ +\ x)^{2}\ +\ (\frac{a} {2}\ -\ x)^{2}\ +\ 2h_a^{2}\ -\ 2ah_a\sqrt{3}\ =\ $$ $TEX: $\frac{3a^2} {2}$$ $TEX: $+\ 2x^{2}\ +\ 2h_a$$ $TEX: $(h_a\ -$$ $TEX: $\sqrt{3}$)$ $TEX: $=$$ $TEX: $\frac{3a^{2}} {2}$$ $TEX: $+\ 2x^{2} +\ 2($$ $TEX: $\frac{a} {2}$$ $TEX: $\sqrt{3}$$ $TEX: $+\ y)(-$$ $TEX: $\frac{a} {2}$$ $TEX: $\sqrt{3}$$ $TEX: $+\ y)$$ La trabajamos un poco y llegamos a la expresion : $TEX: $2x^{2}\ +\ 2y^{2}$$ $TEX: $\ge 0$$ probando lo pedido. La igualdad se da cuando $TEX: $x\ =\ y\ =\ 0$$ que seria el caso del triangulo equilatero. Corriganme si hay algun error Mensaje modificado por panchovega_ el Jan 24 2016, 03:35 PM

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