 Una doble, Facil |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Cálculo > Cálculo en Varias Variables  |
 Mar 12 2010, 09:53 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.313 Registrado: 28-June 07 Miembro Nº: 7.123 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Sexo:   |
Integre
 siendo 
-------------------- Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro
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Mar 13 2010, 12:18 AM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad:  Sexo: |
![TEX: <br /><br />Llamaremos $R_{1}$ a la región<br />\[ R_{1} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + xy + y^2 \leq \pi \} \]<br /><br />que corresponde a una elipse semirotada, centrada en el origen.<br /><br />Ahora, considere la transformación<br />\[ T(x,y) = \left( \frac{u}{\sqrt{3}} - v , \frac{u}{\sqrt{3}} + v \right) \]<br /><br />\vspace{2mm}<br /><br />Sea $R_{2}$ la región $R_{1}$ transformada por T:<br />\[ R_{2} = \{ (u,v) \in \mathbb{R}^2 : \left( \frac{u}{\sqrt{3}} - v\right)^{2} + \left( \frac{u}{\sqrt{3}} - v\right) \left( \frac{u}{\sqrt{3}} + v\right) + \left( \frac{u}{\sqrt{3}} + v\right)^{2} \leq \pi \} \]<br /><br />Simplificando algebraicamente la expresión, se obtiene que<br />\[ R_{2} = \{ (u,v) \in \mathbb{R}^2 : u^2 + v^2 \leq \pi \} \]<br /><br />Es decir, $R_{2}$ corresponde a una circunferencia de radio $\sqrt{\pi }$, centrada en el origen del plano cartesiano con ejes $u$ y $v$.<br />\vspace{2mm}<br /><br />Calculemos el valor absoluto del jacobiano:<br />\[ abs(J) = abs \left( \left| <br /> \begin{array}{cc}<br /> \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\<br /> \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}<br /> \end{array}<br /> \right| \right) = abs \left( \left| <br /> \begin{array}{cc}<br /> \frac{1}{\sqrt{3}} & -1 \\<br /> \frac{1}{\sqrt{3}} & 1<br /> \end{array}<br /> \right| \right) = abs \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2}{\sqrt{3}} \]<br /><br /><br />\vspace{3mm}<br /><br />Entonces:<br />\[ \iint_{R_{1}} \sin \left( x^2 + xy + y^2 \right) dA_{1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \iint_{R_{2}} \sin \left( u^2 + v^2 \right) dA_{2} \]<br />\vspace{2mm}<br /><br />Utilizando un cambio a coordenadas polares, se obtiene finalmente que<br />\[ \iint_{R_{1}} \sin \left( x^2 + xy + y^2 \right) dA_{1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \sin \left( r^2 \right) r dr d\theta \]<br /><br />\[ \iint_{R_{1}} \sin \left( x^2 + xy + y^2 \right) dA_{1} = \frac{4\pi}{\sqrt{3}} \]<br /><br /> <br /><br /><br /><br /><br /><br />](./tex/92b51eb35d4c51128a968f668bfb81e3.png)
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Mar 13 2010, 02:42 PM
Publicado:
#3
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 Staff FMAT  Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo: |
Otra forma es poner
 e  cuyo Jacobiano de la transformación es  así la integral doble vale  Como estamos calculando áreas, la integral interior no es cero, y da el valor que representa como área. 
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