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Teorema y formulas en el triangulo

xdanielx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 10 2008, 02:07 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 3.360 Registrado: 11-March 08 Miembro Nº: 16.617	$TEX: Si un triangulo ABC tiene circunradio r, inradio p y exradios $p_a$, $p_b$, $p_c$ entonces se cumple:$ $TEX: $$<br />p_a + p_b + p_c - p = 4r<br />$$$ $TEX: Si los lados de un triangulo ABC son a, b y c; y r es su circunradio, entonces el area del triangulo esta dada por:$ $TEX: $$<br />\left( {ABC} \right) = \frac{{abc}}<br />{{4r}}<br />$$$ $TEX: En un triangulo ABC de lados a, b y c se tiene:$ $TEX: 1)$$<br />t_a = \sqrt {\frac{{b^2 + c^2 }}<br />{2} - \frac{{a^2 }}<br />{4}} <br />$$$ $TEX: ($t_a = transversal de gravedad$)$ $TEX: 2)$$<br />b_\alpha = \sqrt {\frac{{bc}}<br />{{\left( {b + c} \right)^2 }}\left[ {\left( {b + c} \right)^2 - a^2 } \right]} <br />$$$ $TEX: ($b_\alpha = Bisectriz interior$)$ $TEX: 3)$$<br />b_{\alpha '} = \sqrt {\frac{{bc}}<br />{{\left( {c - b} \right)^2 }}\left[ {a^2 - \left( {c - b} \right)^2 } \right]} <br />$$$ $TEX: ($b_{\alpha '} = Bisctriz exterior$)$ $TEX: Teorema de Steiner - Lehmus$ $TEX: Si un triangulo tiene dos bisectrices interiores iguales, entonces el triangulo es isósceles$ $TEX: Si ABCD es un cuadrilatero inscriptible y circunscriptible de lados a, b, c y d entonces:$ $TEX: $$<br />\left( {ABCD} \right) = \sqrt {abcd} <br />$$$ $TEX: Si en un triangulo ABC los exradios son $p_a$, $p_b$, $p_c$ y el inradio es p entones$ $TEX: $$<br />\frac{1}<br />{{p_a }} + \frac{1}<br />{{p_b }} + \frac{1}<br />{{p_c }} = \frac{1}<br />{p} \Leftrightarrow \frac{p}<br />{{p_a }} + \frac{p}<br />{{p_b }} + \frac{p}<br />{{p_c }} = 1<br />$$$

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2008, 08:58 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(vivanco @ Sep 10 2008, 02:57 PM) $TEX: Si un triangulo ABC tiene circunradio r, inradio p y exradios $p_a$, $p_b$, $p_c$ entonces se cumple:$ $TEX: $$<br />p_a + p_b + p_c - p = 4r<br />$$$ $TEX: Si los lados de un triangulo ABC son a, b y c; y r es su circunradio, entonces el area del triangulo esta dada por:$ $TEX: $$<br />\left( {ABC} \right) = \frac{{abc}}<br />{{4r}}<br />$$$ $TEX: En un triangulo ABC de lados a, b y c se tiene:$ $TEX: 1)$$<br />t_a = \sqrt {\frac{{b^2 + c^2 }}<br />{2} - \frac{{a^2 }}<br />{4}} <br />$$$ $TEX: ($t_a = transversal de gravedad$)$ $TEX: 2)$$<br />b_\alpha = \sqrt {\frac{{bc}}<br />{{\left( {b + c} \right)^2 }}\left[ {\left( {b + c} \right)^2 - a^2 } \right]} <br />$$$ $TEX: ($b_\alpha = Bisectriz interior$)$ $TEX: 3)$$<br />b_{\alpha '} = \sqrt {\frac{{bc}}<br />{{\left( {c - b} \right)^2 }}\left[ {a^2 - \left( {c - b} \right)^2 } \right]} <br />$$$ $TEX: ($b_{\alpha '} = Bisctriz exterior$)$ $TEX: Teorema de Steiner - Lehmus$ $TEX: Si un triangulo tiene dos bisectrices interiores iguales, entonces el triangulo es isósceles$ $TEX: Si ABCD es un cuadrilatero inscriptible y circunscriptible de lados a, b, c y d entonces:$ $TEX: $$<br />\left( {ABCD} \right) = \sqrt {abcd} <br />$$$ $TEX: Si en un triangulo ABC los exradios son $p_a$, $p_b$, $p_c$ y el inradio es p entones$ $TEX: $$<br />\frac{1}<br />{{p_a }} + \frac{1}<br />{{p_b }} + \frac{1}<br />{{p_c }} = \frac{1}<br />{p} \Leftrightarrow \frac{p}<br />{{p_a }} + \frac{p}<br />{{p_b }} + \frac{p}<br />{{p_c }} = 1<br />$$$ Sería bueno que entregaras algunas demostraciones de estas fórmulas (podrían estar erradas), o que algún otro usuario del foro lo haga. De todas formas se agradece el aporte Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

hect0r Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 20 2008, 07:45 PM Publicado: #3
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 55 Registrado: 3-May 06 Desde: Location Unknow Miembro Nº: 1.018 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	junto con dar algunos teoremas mas,q nos ayudarn para lo siguiente, dare algunas dem(de las q me acuerdo) de las teoremas puestos por vivanco. se q talves la dem de algunso teoremas no son como muy elegantes q digamos...pero weno algo es algo xd primero dare la de la medida de la bisectriz y de la tranversal de gravedad... para su demostraciones rapi2 y baratas usaremas el teorema de stewart(stw)( http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=9371). dem. de la tranversal de gravedad(voy a pedir prestado la foto de Krizalid, del topic de stw) Usando stw $TEX: \noindent $\overline{AB}=c,\ \overline{BC}=a,\ \overline{AC}=b \ \text{y la ceviana la llamaremos p}$\\<br />$c(mn+p^2)=a^2m+b^2n$\\<br />$\text{Pero como n=m=$\dfrac{c}{2}$ (traversal de gravedad)}$\\<br />$c \cdot \dfrac{c^2}{4} + c \cdot t_c^2 = a^2 \cdot \dfrac{c}{2} +b^2 \cdot \dfrac{c}{2}$\\<br />$\text{simplificando por c}$\\<br />$\dfrac{c^2}{4} +t_c^2 = \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{b^2}{2}$\\<br />$t_c^2 = \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{b^2}{2} - \dfrac{c^2}{4}$\\<br />$\text{la dem de las siguente son analogas a esta}$\\<br />$t_a^2 = \dfrac{b^2}{2} + \dfrac{c^2}{2} - \dfrac{a^2}{4}$\\<br />$t_b^2 = \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{c^2}{2} - \dfrac{b^2}{4}$\\$ Dem de la bisectrices (para ello usaremas el teoremas de la bisectrices.. creo q asi se llma) Sabemos por el t de las bisec. interior q $TEX: $n=\dfrac{ac}{a+b} \ , m=\dfrac{bc}{a+b}$\\<br />$c\left(\dfrac{abc^2}{(a+b)^2}+b_\gamma^2\right)=\dfrac{a^2bc}{a+b} + \dfrac{b^2ac}{a+b}$\\<br />$\text{simplificando por c}$\\<br />$b_\gamma^2=\dfrac{a^2bc+b^2ac}{a+b}-\dfrac{abc^2}{(a+b)^2}$\\<br />$b_\gamma^2=\dfrac{ab(a+b)}{a+b}-\dfrac{abc^2}{(a+b)^2}$\\<br />$b_\gamma^2=ab-\dfrac{abc^2}{(a+b)^2}$\\<br />$b_\gamma^2=ab\left(1-\dfrac{c^2}{(a+b)^2}\right)$\\<br />$b_\gamma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2}[(a+b)^2-c^2]$\\<br />$\text{analogamente a esta salen}$\\<br />$b_\alpha^2=\dfrac{bc}{(b+c)^2}[(b+c)^2-a^2]$\\<br />$b_\beta^2=\dfrac{ca}{(c+a)^2}[(c+a)^2-b^2]$$ formula del area en funcion de sus lados y el radio de la circunferencia circuncrita ( r ) geo1231.PNG ( 12.11k ) Número de descargas: 0 $TEX: \noindent $\text{Sea FC:la altura , CE:2r y lo datos entregados por la figura}$\\<br />$\triangle AFC \sim \triangle EBC \ \text{Pues}$\\<br />$\angle EBC \cong \angle AFC$ (los dos valen 90º)\\<br />$\angle CAF \cong \angle CEB$ (subtienden el mismo arco)\\<br />$\Rightarrow \dfrac{AC}{EC} = \dfrac{FC}{BC} \Leftrightarrow \dfrac{b}{2r} = \dfrac{h}{a} $\\<br />$\Rightarrow h=\dfrac{ab}{2r}$\\<br />$\text{Ahora como $\dfrac{ch}{2}=A$}$\\<br />$\therefore A=\dfrac{abc}{4r}$$ t3.PNG ( 8.21k ) Número de descargas: 0 Areas en funcion del radio de la circunferencia incrita Sea $TEX: $a+b+c=2s$ y $GD=DH=DF=\rho$ tales q token a b,a y c respectivamente y considerando los triangulos ADB , BCH y CAD. Calcularemos las areas de cada uno y la suma sera el area de ABC\\<br />$(ABD) = \dfrac{\rho c}{2}$\\<br />$(CAD) = \dfrac{\rho b}{2}$\\<br />$(BCH) = \dfrac{\rho a}{2}$\\<br />$\dfrac{\rho c}{2}\dfrac{\rho b}{2}\dfrac{\rho a}{2}=(ABC)$\\<br />$\rho \left(\dfrac{a+b+c}{2}\right)=(ABC) \Rightarrow \rho s = (ABC)$<br />$ t4.PNG ( 10.23k ) Número de descargas: 0 Area en funcion de los radios de laa circunferencias excinscritas( $TEX: $\rho_a,\rho_b,\rho_c$$ ) $TEX: $(AEC)+(ABE)-(CBE)=(ABC)$\\<br />$\dfrac{b \rho_a}{2}+\dfrac{c \rho_a}{2} -\dfrac{a \rho_a}{2}=(ABC)$\\<br />$\rho_a\left(\dfrac{b+c-a}{2}\right)=(ABC) \Rightarrow \rho_a\left(\dfrac{2(s-a)}{2}\right)$\\<br />$\therefore \rho_a(s-a)=(ABC)$ y analogamente sakamos q\\<br />$ \rho_b(s-b)=(ABC)$\\<br />$ \rho_c(s-c)=(ABC)$\\<br />$ teninedo encuenta las formulas de las areas demotraremos lo siguente: $TEX: \noindent$\dfrac{1}{\rho_a}+\dfrac{1}{\rho_b}+\dfrac{1}{\rho_c}=\dfrac{1}{\rho}$\\<br />$=\dfrac{s-a}{(ABC)}+\dfrac{s-b}{(ABC)}+\dfrac{s-c}{(ABC)}=\dfrac{3s-(a+b+c)}{(ABC)}$\\<br />$=\dfrac{3s-2s}{(ABC)} \Rightarrow \dfrac{s}{(ABC)}=\dfrac{1}{\rho}$\\$ $TEX: \noindent$\rho_a+\rho_b+\rho_c+\rho=4r$\\<br />$=\dfrac{(ABC)}{s-a}+\dfrac{(ABC)}{s-b}+\dfrac{(ABC)}{s-c}+\dfrac{(ABC)}{s}$\\<br />$=\dfrac{(ABC)[s(s-b)(s-c)+s(s-b)(s-a)+s(s-a)(s-c)-(s-a)(s-b)(s-c)]}{s(s-a)(s-b)(s-c)}$\\<br />$=\dfrac{(ABC)[s(s-c)[s-b+s-a]+(s-a)(s-b)[s-(s-c)]]}{(ABC)^2}$(por heron)\\<br />$=\dfrac{s(s-c)c+(s-a)(s-b)c}{(ABC)}$\\<br />$=\dfrac{c[s^2-cs+s^2-bs-as+ab]}{(ABC)}$(dps de resolver)\\<br />$=\dfrac{c[2s^2-s(a+b+c)+ab]}{(ABC)}$\\<br />$=\dfrac{c[ab]}{(ABC)} \Rightarrow \dfrac{cab}{(ABC)}=4r $\\$ multiplicando las formulas de las areas de recien tenemos $TEX: \noindent$(ABC)=\rho_b(s-b)$\\<br />$ (ABC)=\rho_a(s-a)$\\<br />$ (ABC)=\rho_c(s-c)$\\<br />$ (ABC)=\rho s$\\<br />$ (ABC)^4=\rho_c(s-c) \rho_a(s-a) \rho_b(s-b) \rho s$\\<br />$ (ABC)^4=s(s-a)(s-b)(s-c)\rho_a \cdot \rho_b \cdot \rho_c \cdot \rho$\\<br />$(ABC)^4=(ABC)^2\rho_a \cdot \rho_b \cdot \rho_c \cdot \rho$ (por heron)\\<br />$(ABC)^2=\rho_a \cdot \rho_b \cdot \rho_c \cdot \rho$\\<br />$(ABC)=\sqrt{\rho_a \cdot \rho_b \cdot \rho_c \cdot \rho}$$ Bueno eso por ahora pd: dem de heron no puso , pues es muy conocida(creo q estas tmb) pero weno. -------------------- "Dios creo los números naturales, todo lo demás es obra del hombre" Leopold Kronecker Estudiante de Matemagica , de por vida Curriculum : Ganador del galardón M.A.M.A, por ser el hijo de mi mama Y muchos mas del mismo tipo

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 20 2008, 08:54 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	hay un ejercicio relacionado con esas formulas, eso creo porque piden la distancia entre el circuncentro y el incentro -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

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