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Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2010, 02:52 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Pruebe que el maximo comun divisor de dos numeros de la forma $1111111.....1111$, tambien es un numero de esta forma.$ -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2010, 11:43 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: De hecho vamos a probar a continuación que $\displaystyle \mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right) = \frac{10^{\mathbf{mcd}(a,b)}-1}{9}.$<br /><br />$\medskip$<br /><br />Claramente la expresión de la derecha divide tanto a $\displaystyle \frac{10^{a}-1}{9}$ como a $\displaystyle \frac{10^{b}-1}{9}$. Por definición de $\mathbf{mcd}$ se sigue que $\displaystyle \frac{10^{\mathbf{mcd}(a,b)}-1}{9}$ divide a $\mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right)$ y de ahí que $\displaystyle \frac{10^{\mathbf{mcd}(a,b)}-1}{9} \leq \mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right)$. Probaremos que la desigualdad en el otro sentido también se tiene y de ello se obtendrá inmediatamente la igualdad en cuestión.<br /><br />$\medskip$<br /><br />Por una propiedad del $\mathbf{mcd}$ se asegura la existencia de enteros $x,y$ tales que $ax-by = \mathbf{mcd}(a,b)$. Luego, es claro que $\displaystyle \frac{10^{a}-1}{9}$ divide a $\displaystyle \frac{10^{ax}-1}{9}$ y $\displaystyle \frac{10^{b}-1}{9}$ divide a $\displaystyle \frac{10^{by}-1}{9}$. Así, al ser<br /><br />$\medskip$<br /><br />$\displaystyle 10^{by}\left(\frac{10^{\mathbf{mcd}(a,b)}-1}{9}\right) = \frac{10^{ax}-1}{9} - \frac{10^{by}-1}{9}$<br /><br />se concluye que $\displaystyle \mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right)$ divide a la expresión en el lado derecho de la identidad anterior. Como $\displaystyle \mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right)$ y $10^{by}$ no tienen factores mayores que $1$ en común se sigue que $\displaystyle \mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right)$ divide a $\displaystyle \frac{10^{\mathbf{mcd}(a,b)}-1}{9},$ lo cual termina la prueba.<br /><br />$ . -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2010, 05:05 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Jun 2 2010, 12:43 AM) $TEX: De hecho vamos a probar a continuación que $\displaystyle \mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right) = \frac{10^{\mathbf{mcd}(a,b)}-1}{9}.$<br /><br />$\medskip$<br /><br />Claramente la expresión de la derecha divide tanto a $\displaystyle \frac{10^{a}-1}{9}$ como a $\displaystyle \frac{10^{b}-1}{9}$. Por definición de $\mathbf{mcd}$ se sigue que $\displaystyle \frac{10^{\mathbf{mcd}(a,b)}-1}{9}$ divide a $\mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right)$ y de ahí que $\displaystyle \frac{10^{\mathbf{mcd}(a,b)}-1}{9} \leq \mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right)$. Probaremos que la desigualdad en el otro sentido también se tiene y de ello se obtendrá inmediatamente la igualdad en cuestión.<br /><br />$\medskip$<br /><br />Por una propiedad del $\mathbf{mcd}$ se asegura la existencia de enteros $x,y$ tales que $ax-by = \mathbf{mcd}(a,b)$. Luego, es claro que $\displaystyle \frac{10^{a}-1}{9}$ divide a $\displaystyle \frac{10^{ax}-1}{9}$ y $\displaystyle \frac{10^{b}-1}{9}$ divide a $\displaystyle \frac{10^{by}-1}{9}$. Así, al ser<br /><br />$\medskip$<br /><br />$\displaystyle 10^{by}\left(\frac{10^{\mathbf{mcd}(a,b)}-1}{9}\right) = \frac{10^{ax}-1}{9} - \frac{10^{by}-1}{9}$<br /><br />se concluye que $\displaystyle \mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right)$ divide a la expresión en el lado derecho de la identidad anterior. Como $\displaystyle \mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right)$ y $10^{by}$ no tienen factores mayores que $1$ en común se sigue que $\displaystyle \mathbf{mcd} \left(\frac{10^{a}-1}{9}, \frac{10^{b}-1}{9}\right)$ divide a $\displaystyle \frac{10^{\mathbf{mcd}(a,b)}-1}{9},$ lo cual termina la prueba.<br /><br />$ . Solucion correcta Saludos. -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

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