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El Argumento Diagonal

aleph_omega Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 19 2010, 10:10 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 560 Registrado: 24-December 09 Miembro Nº: 64.629	Ya que han habido varios temas usando el A.D. , demostrémoslo! Es decir, sea $TEX: $E$$ un conjunto (asumamos no vacìo). Pruebe que no puede existir una biyección entre $TEX: $E$$ y el conjunto de sus partes (o potencia) $TEX: $P(E)$$ . Mensaje modificado por aleph_omega el Feb 19 2010, 10:14 PM

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 19 2010, 10:54 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(aleph_omega @ Feb 20 2010, 12:10 AM) Ya que han habido varios temas usando el A.D. , demostrémoslo! Es decir, sea $TEX: $E$$ un conjunto (asumamos no vacìo). Pruebe que no puede existir una biyección entre $TEX: $E$$ y el conjunto de sus partes (o potencia) $TEX: $P(E)$$ . Esta es la demostración que conozco: $TEX: <br />Sea $X$ un conjunto no vacío. Bastará con demostrar que no existe función alguna $f\colon X\to \mathcal{P}(X)$ que sea sobreyectiva (para ser biyección, necesariamente debe ser sobreyectiva).\\<br />Se define el conjunto $C=\{x: x\in (X-f(x))\}$. Aquí $f(x)$ es un elemento de $\mathcal{P}(X)$, es decir, es un conjunto. Por la definición, se tiene que $C\in \mathcal{P}(X)$. Supongamos cierta la existencia de $p\in X$ tal que $f(p)=C$, y además, que $p\in C$. Luego:<br />$$p\in C\Rightarrow p\in (X-f(p))\Rightarrow p\in (X-C)$$<br />lo cual es una contradicción, ya que un elemento no puede pertenecer a un conjunto y a su complemento a la vez. Si se supone que $p\not\in C$, siguiendo el esquema anterior, se llega a que $p\in C$, lo cual nuevamente es contradicción. Por lo tanto, existe un elemento del $\mathcal{P}(X)$ que no es imagen de ningún elemento de $X$, es decir, $f$ no es sobreyectiva y luego, no puede ser biyectiva.<br /><br />$ Saludos. -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

PsicoStitch Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2010, 01:22 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 699 Registrado: 6-May 07 Miembro Nº: 5.650 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sea $\Lambda$ un conjunto de índices para $X$, con $\|\Lambda\| = \|X\|$. Supongamos que existe una biyección $f$ entre $X$ y $\{ 0,1 \}^{\Lambda}$. Si tomamos el elemento $(\bar x_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} \in \{0,1\}^{\Lambda}$ definido por $\bar x_{\lambda} = 0$ si $f(x_{\lambda})_{\lambda} = 1$ y $\bar x_{\lambda} = 1$ si $f(x_{\lambda})_{\lambda} = 0$, vemos que $(\bar x_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ no puede ser imagen de ningún elemento de $X$. Luego, no existe biyección entre $X$ y $\mathcal{P} (X).$$ Mensaje modificado por PsicoStitch el Feb 20 2010, 01:33 AM --------------------

aleph_omega Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2010, 12:41 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 560 Registrado: 24-December 09 Miembro Nº: 64.629	Ambas demos estan bien, pero ayer cuando estaba durmiendo adverti en que me habia equivocado en proponer el propuesto. El AD esta determinado por la siguiente razon matematica: $TEX: \noindent Muestre que no puede existir una biyección entre $E$ y $2^E$$ saludos y disculpen.

aleph_omega Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2010, 07:29 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 560 Registrado: 24-December 09 Miembro Nº: 64.629	$TEX: $2^E$$ representa a las aplicaciones que van de $TEX: $E$$ a $TEX: $2:=\{0,1\}$$ . Podemos fácilmente establecer una inyección. En efecto, consideramos para $TEX: $x\in E$$ , la aplicación $TEX: $x\to \chi_{E}(x)$$ y listo. Lo que falla es la sobreyectividad. Si no sabe como demostrarlo, se puede hacer valer del mismo argumento diagonal inteligentemente usado para demostrarlo . De todas maneras, hay 3 formas de demostrar que no hay sobrección. Mensaje modificado por aleph_omega el Feb 20 2010, 07:31 PM

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