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> Ángulos Dobles, Propuesto 14
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mensaje Feb 18 2010, 07:53 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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CITA(Kenshin @ Jan 6 2006, 04:12 PM) *
TEX: $Probar\ que:$

TEX: $\displaystyle sen(2\alpha)+cos(2\alpha)=\frac{(ctg(\alpha)+1)^2-2}{ctg^2(\alpha)+1}$


laugh.gif
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NickdrA
mensaje Feb 18 2010, 08:22 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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TEX: P.D.:<br />$$\sin{\left(2\alpha\right)}+\cos{\left(2\alpha\right)}= \frac{\left(\cot{\left(\alpha\right)}+1\right)^2-2}{\cot^2{\left(\alpha\right)}+1}$$<br />Entonces:<br />$$\frac{\left(\cot{\left(\alpha\right)}+1\right)^2-2}{\cot^2{\left(\alpha\right)}+1}=\frac{\cot^2{\left(\alpha\right)}+2\cot{\left(\alpha\right)}+1-2}{\cot^2{\left(\alpha\right)}+1}$$<br />$$=1+2\left(\frac{\cot{\left(\alpha\right)}-1}{\cot^2{\left(\alpha\right)}+1}\right)$$<br />$$=\sin^2{\left(\alpha\right)}+\cos^2{\left(\alpha\right)}+2\left(\frac{\frac{\cos{\left(\alpha\right)}}{\sin{\left(\alpha\right)}}-\frac{\sin{\left(\alpha\right)}}{\sin{\left(\alpha\right)}}}{\frac{\cos^2{\left(\alpha\right)}}{\sin^2{\left(\alpha\right)}}+\frac{\sin^2{\left(\alpha\right)}}{\sin^2{\left(\alpha\right)}}}\right)$$<br />$$=\sin^2{\left(\alpha\right)}+\cos^2{\left(\alpha\right)}+2\left(\sin{\left(\alpha\right)}\cos{\left(\alpha\right)} - \sin^2{\left(\alpha\right)}\right)$$<br />$$=\sin{\left(2\alpha\right)}+\cos{\left(2\alpha\right)} \square$$<br />

Saludos zippyyeahbt5.gif

Mensaje modificado por NickdrA el Feb 18 2010, 08:34 PM


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danielomalmsteen
mensaje Feb 18 2010, 08:27 PM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo
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TEX: \[\begin{gathered}<br />  \frac{{{{\left( {{{\cot }^2}\theta  + 1} \right)}^2} - 2}}<br />{{1 + {{\cot }^2}\theta }} = \frac{{{{\cot }^2}\theta  + 2\cot \theta  - 1}}<br />{{{{\csc }^2}\theta }} = \frac{{{{\cot }^2}\theta }}<br />{{{{\csc }^2}\theta }} + \frac{{2\cot \theta }}<br />{{{{\csc }^2}\theta }} - \frac{1}<br />{{{{\csc }^2}\theta }} \hfill \\<br />   = {\cos ^2}\theta  + 2\cos \theta \sin \theta  - {\sin ^2}\theta  = \sin \left( {2\theta } \right) + \cos \left( {2\theta } \right)\square  \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />


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danielomalmsteen
mensaje Feb 18 2010, 08:28 PM
Publicado: #4


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CITA(NickdrA @ Feb 18 2010, 09:22 PM) *
TEX: Tenemos que:<br />$$\sin{\left(2\alpha\right)}+\cos{\left(2\alpha\right)}= \frac{\left(\cot{\left(\alpha\right)}+1\right)^2-2}{\cot^2{\left(\alpha\right)}+1}$$<br />$$=\frac{\cot^2{\left(\alpha\right)}+2\cot{\left(\alpha\right)}+1-2}{\cot^2{\left(\alpha\right)}+1}$$<br />$$=1+2\left(\frac{\cot{\left(\alpha\right)}-1}{\cot^2{\left(\alpha\right)}+1}\right)$$<br />$$=\sin^2{\left(\alpha\right)}+\cos^2{\left(\alpha\right)}+2\left(\frac{\frac{\cos{\left(\alpha\right)}}{\sin{\left(\alpha\right)}}-\frac{\sin{\left(\alpha\right)}}{\sin{\left(\alpha\right)}}}{\frac{\cos^2{\left(\alpha\right)}}{\sin^2{\left(\alpha\right)}}+\frac{\sin^2{\left(\alpha\right)}}{\sin^2{\left(\alpha\right)}}}\right)$$<br />$$=\sin^2{\left(\alpha\right)}+\cos^2{\left(\alpha\right)}+2\left(\sin{\left(\alpha\right)}\cos{\left(\alpha\right)} - \sin^2{\left(\alpha\right)}\right)$$<br />$$=\sin{\left(2\alpha\right)}+\cos{\left(2\alpha\right)}$$<br />

Saludos zippyyeahbt5.gif


"Tenemos que..."

En verdad no sabemos si tenemos o no tenemos eso, puesto que es lo que queremos demostrar zippytecito.gif


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NickdrA
mensaje Feb 18 2010, 08:36 PM
Publicado: #5


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CITA(danielomalmsteen @ Feb 18 2010, 09:28 PM) *
"Tenemos que..."

En verdad no sabemos si tenemos o no tenemos eso, puesto que es lo que queremos demostrar zippytecito.gif


Editado... victory.gif


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「Krizalid」
mensaje Feb 18 2010, 08:43 PM
Publicado: #6


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Otra:

TEX: $$\operatorname{sen}2\alpha +\cos 2\alpha =\frac{(\operatorname{sen}2\alpha +\cos 2\alpha )\csc ^{2}\alpha }{\csc ^{2}\alpha }=\frac{2\cot \alpha +\cot ^{2}\alpha -1}{\csc ^{2}\alpha },$$ y esto último vale TEX: $$\frac{(\cot \alpha +1)^{2}-2}{\csc ^{2}\alpha },$$ como había de comprobar.
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mensaje Feb 18 2010, 08:51 PM
Publicado: #7


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Soluciones Correctas ! carita2.gif

Acá otra posible, aunque del mismo modo que Krizalid pero ultra detallado xDD

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