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> Matriz
Gastón Burrull
mensaje Feb 9 2010, 11:31 PM
Publicado: #1





Invitado
TEX: Sea $A$ una matriz simétrica de $n\times n$ con $n$ impar, tal que en cada fila aparecen los números del $1$ al $n$. Pruebe que en la diagonal principal de $A$, aparecen todos los números del $1$ al $n$.
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OckUC
mensaje Feb 10 2010, 01:38 AM
Publicado: #2


Dios Matemático
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TEX: $$\text{Sea }A=A^{t}\text{ de }n\text{ }\times \text{ }n\text{ con n impar}\text{.}$$

TEX: $$\text{Cada fila aparecen los numeros del 1 al n}\Rightarrow $$

TEX: $$\text{Todos los elementos de la misma fila son iguales si y solo si son de la misma columna}\Rightarrow $$

TEX: $$\text{(Igual casilla) }$$

TEX: $$\left( i=p \right)\Rightarrow \left[ \left( a_{i,j}=a_{p,q} \right)\Leftrightarrow \left( j=q \right) \right]\Rightarrow $$

TEX: $$\text{Por simetria: }\left( i=p \right)\Rightarrow \left[ \left( a_{j,i}=a_{q,p} \right)\Leftrightarrow \left( j=q \right) \right]\Rightarrow $$

TEX: $$\text{Todos los elementos de la misma columna son iguales si y solo si son de la misma fila}\Rightarrow $$

TEX: $$\text{Cada columna aparecen los numeros del 1 al n (por ser simetrica)}\Rightarrow $$

TEX: $$\left( i=p \right)\Rightarrow \left[ \left( a_{i,i}=a_{p,p} \right)\Leftrightarrow \left( i=p \right) \right]\text{ De aqui se deduce que:}$$

TEX: $$\left( a_{i,i}=a_{p,p} \right)\Leftrightarrow \left( i=p \right)\text{ Por lo que:}$$

TEX: $$\left( a_{i,i}\ne a_{p,p} \right)\Leftrightarrow \left( i\ne p \right)\Rightarrow $$

TEX: $$\text{Todos los elementos de la diagonal son distintos si y solo si son de distinta fila o columna}\Rightarrow $$

TEX: $$\text{Aparecen los numeros del 1 al n en la diagonal principal}\text{.}$$

P.D. No se como usar la hipotesis de n impar. Prefiero considerar de que si n es par, basta tomar como contraejemplo la matriz de 2x2 que tiene su diagonal con numeros repetidos.


--------------------
RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN

TEX: Conjunto $R$:

TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />

TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />
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Uchiha Itachi
mensaje Feb 10 2010, 11:42 AM
Publicado: #3


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TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaadaqjEa<br />% qaaiaabseacaqGLbGaaeyBaiaab+gacaqGZbGaaeiDaiaabkhacaqG<br />% HbGaae4yaiaabMgacaqGVbGaaeOBaiaabccacaqG6aaaaaqaaaqaai<br />% aabofacaqGLbGaaeyyaiaabccacaqGGaGaamyqaiaabccacaqGZbGa<br />% aeyAaiaab2gacaqGLbGaaeiDaiaabkhacaqGPbGaae4yaiaabggaca<br />% qGSaGaaeiiaiaabshacaqGHbGaaeiBaiaabccacaqGXbGaaeyDaiaa<br />% bwgacaqGGaGaaeyzaiaab6gacaqGGaGaae4CaiaabwhacaqGGaGaae<br />% izaiaabMgacaqGHbGaae4zaiaab+gacaqGUbGaaeyyaiaabYgacaqG<br />% GaGaaeiCaiaabkhacaqGPbGaaeOBaiaabogacaqGPbGaaeiCaiaabg<br />% gacaqGSbGaaeiiaiaabohacaqGLbGaaeiiaiaabwgacaqGUbGaae4y<br />% aiaabwhacaqGLbGaaeOBaiaabshacaqGYbGaaeyzaiaab6gacaqGGa<br />% 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tal que en su diagonal principal se encuentren }}\left\{ {1,...,n - 1} \right\}{\text{, es decir uno de}} \hfill \\<br /> {\text{esos numeros se repite; sea }}k{\text{ tal numero}}{\text{, con }}1 \leqslant k \leqslant n - 1. \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Por las condiciones dadas en el enunciado}}{\text{, el hecho anterior condiciona ya 2 filas y por ende}} \hfill \\<br /> {\text{2 columnas no contienen a tal numero}}{\text{, y a su vez que cada fila y columna contenga a }}\left\{ {1,...,n} \right\} \hfill \\<br /> {\text{condiciona de manera tal}}{\text{, que necesariamente este numero se encuentra en alguna otra fila}}{\text{,}} \hfill \\<br /> {\text{por la simetria de A}}{\text{, es que de inmediato al colocar }}k{\text{ en una fila (donde no este en la diagonal)}}{\text{,}} \hfill \\<br /> {\text{en total se ocupan 2 filas}}{\text{. Asi y haciendo el llenado de la matriz A}}{\text{, nos percatamos que existira}} \hfill \\<br /> {\text{una fila que no contendra a }}k{\text{, ya que }}A{\text{ es de orden impar}}{\text{. }}\left( { \to \leftarrow } \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]


--------------------
Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile

Magíster en ciencias mención matemática,
Profesor de estado en matemáticas y computación,
Licenciado en educación matemáticas y computación,
USACH
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Gastón Burrull
mensaje Feb 10 2010, 02:56 PM
Publicado: #4





Invitado
CITA(OckUC @ Feb 10 2010, 03:38 AM) *
TEX: $$\left( a_{i,i}= a_{p,p} \right)\Leftrightarrow \left( i= p \right) $$


Ahí hay un error, pues para ambos lados eso no es necesariamente cierto.

CITA(Uchiha Itachi @ Feb 10 2010, 01:42 PM) *

TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaadaqjEa<br />% qaaiaabseacaqGLbGaaeyBaiaab+gacaqGZbGaaeiDaiaabkhacaqG<br />% HbGaae4yaiaabMgacaqGVbGaaeOBaiaabccacaqG6aaaaaqaaaqaai<br />% aabofacaqGLbGaaeyyaiaabccacaqGGaGaamyqaiaabccacaqGZbGa<br />% aeyAaiaab2gacaqGLbGaaeiDaiaabkhacaqGPbGaae4yaiaabggaca<br />% qGSaGaaeiiaiaabshacaqGHbGaaeiBaiaabccacaqGXbGaaeyDaiaa<br />% bwgacaqGGaGaaeyzaiaab6gacaqGGaGaae4CaiaabwhacaqGGaGaae<br />% izaiaabMgacaqGHbGaae4zaiaab+gacaqGUbGaaeyyaiaabYgacaqG<br />% GaGaaeiCaiaabkhacaqGPbGaaeOBaiaabogacaqGPbGaaeiCaiaabg<br />% gacaqGSbGaaeiiaiaabohacaqGLbGaaeiiaiaabwgacaqGUbGaae4y<br />% aiaabwhacaqGLbGaaeOBaiaabshacaqGYbGaaeyzaiaab6gacaqGGa<br />% WaaiWaaeaacaaIXaGaaiilaiaac6cacaGGUaGaaiOlaiaacYcacaWG<br />% UbGaeyOeI0IaaGymaaGaay5Eaiaaw2haaiaabYcacaqGGaGaaeyzai<br />% aabohacaqGGaGaaeizaiaabwgacaqGJbGaaeyAaiaabkhacaqGGaGa<br />% aeyDaiaab6gacaqGVbGaaeiiaiaabsgacaqGLbaabaGaaeyzaiaabo<br />% hacaqGVbGaae4CaiaabccacaqGUbGaaeyDaiaab2gacaqGLbGaaeOC<br />% aiaab+gacaqGZbGaaeiiaiaabohacaqGLbGaaeiiaiaabkhacaqGLb<br />% GaaeiCaiaabMgacaqG0bGaaeyzaiaabUdacaqGGaGaae4Caiaabwga<br />% caqGHbGaaeiiaiaabccacaWGRbGaaeiiaiaabshacaqGHbGaaeiBai<br />% aabccacaqGUbGaaeyDaiaab2gacaqGLbGaaeOCaiaab+gacaqGSaGa<br />% aeiiaiaabogacaqGVbGaaeOBaiaabccacaaIXaGaeyizImQaam4Aai<br />% abgsMiJkaad6gacqGHsislcaaIXaGaaiOlaaqaaaqaaiaabcfacaqG<br />% VbGaaeOCaiaabccacaqGSbGaaeyyaiaabohacaqGGaGaae4yaiaab+<br />% gacaqGUbGaaeizaiaabMgacaqGJbGaaeyAaiaab+gacaqGUbGaaeyz<br />% aiaabohacaqGGaGaaeizaiaabggacaqGKbGaaeyyaiaabohacaqGGa<br />% Gaaeyzaiaab6gacaqGGaGaaeyzaiaabYgacaqGGaGaaeyzaiaab6ga<br />% caqG1bGaaeOBaiaabogacaqGPbGaaeyyaiaabsgacaqGVbGaaeilai<br />% 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gacaqGVbGaaeiiaiaabsgacaqGLbGaaeiiaiaabYgacaqGHbGaaeii<br />% aiaab2gacaqGHbGaaeiDaiaabkhacaqGPbGaaeOEaiaabccacaqGbb<br />% GaaeilaiaabccacaqGUbGaae4BaiaabohacaqGGaGaaeiCaiaabwga<br />% caqGYbGaae4yaiaabggacaqG0bGaaeyyaiaab2gacaqGVbGaae4Cai<br />% aabccacaqGXbGaaeyDaiaabwgacaqGGaGaaeyzaiaabIhacaqGPbGa<br />% ae4CaiaabshacaqGPbGaaeOCaiaabggaaeaacaqG1bGaaeOBaiaabg<br />% gacaqGGaGaaeOzaiaabMgacaqGSbGaaeyyaiaabccacaqGXbGaaeyD<br />% aiaabwgacaqGGaGaaeOBaiaab+gacaqGGaGaae4yaiaab+gacaqGUb<br />% GaaeiDaiaabwgacaqGUbGaaeizaiaabkhacaqGHbGaaeiiaiaabgga<br />% caqGGaGaam4AaiaabYcacaqGGaGaaeyEaiaabggacaqGGaGaaeyCai<br />% aabwhacaqGLbGaaeiiaiaadgeacaqGGaGaaeyzaiaabohacaqGGaGa<br />% aeizaiaabwgacaqGGaGaae4BaiaabkhacaqGKbGaaeyzaiaab6gaca<br />% qGGaGaaeyAaiaab2gacaqGWbGaaeyyaiaabkhacaqGUaGaaeiiamaa<br />% bmaabaGaeyOKH4QaeyiKHWkacaGLOaGaayzkaaaaaaa!9312!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{Demostracion :}}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Sea }}A{\text{ simetrica}}{\text{, tal que en su diagonal principal se encuentren }}\left\{ {1,...,n - 1} \right\}{\text{, es decir uno de}} \hfill \\<br /> {\text{esos numeros se repite; sea }}k{\text{ tal numero}}{\text{, con }}1 \leqslant k \leqslant n - 1. \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Por las condiciones dadas en el enunciado}}{\text{, el hecho anterior condiciona ya 2 filas y por ende}} \hfill \\<br /> {\text{2 columnas no contienen a tal numero}}{\text{, y a su vez que cada fila y columna contenga a }}\left\{ {1,...,n} \right\} \hfill \\<br /> {\text{condiciona de manera tal}}{\text{, que necesariamente este numero se encuentra en alguna otra fila}}{\text{,}} \hfill \\<br /> {\text{por la simetria de A}}{\text{, es que de inmediato al colocar }}k{\text{ en una fila (donde no este en la diagonal)}}{\text{,}} \hfill \\<br /> {\text{en total se ocupan 2 filas}}{\text{. Asi y haciendo el llenado de la matriz A}}{\text{, nos percatamos que existira}} \hfill \\<br /> {\text{una fila que no contendra a }}k{\text{, ya que }}A{\text{ es de orden impar}}{\text{. }}\left( { \to \leftarrow } \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]


Muy bien Uchiha happy.gif, aunque me costó un poquito entenderte laugh.gif.

Una manera un poco más fácil de verlo es suponer que falte un número en la diagonal, sabemos que en la matriz está ese número TEX: $n$ veces, pero como la matriz es simétrica, los números que no estén en la diagonal aparecerán un número par de veces (pues por simetría estarán repetidos), pero como TEX: $n$ es impar esto no puede ser. Contradicción.

aresueltos.gif
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