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danielomalmsteen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2010, 08:52 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pruebe: $TEX: $\sin\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\displaystyle\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$$ donde $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ , y $TEX: $c$$ son los lados del triangulo y $TEX: $s$$ es el semiperimetro. Esta demas decir que $TEX: $\alpha$$ es el angulo que se opone al lado $TEX: $a$$ Saludos! --------------------

Tela Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2010, 01:11 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.032 Registrado: 25-March 09 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 46.018 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	cir2.PNG ( 12k ) Número de descargas: 0 $TEX: Consideremos dos rectas oblicuas, $L_B$ y $L_C$, que se cortan en $A$ y la recta secante $L_A$ que las corta en $B$ y $C$ respectivamente. Luego, dibujaremos una circunferencia $\mathcal{C} (O_A;r_A)$ tangente a $L_A$, $L_B$ y $L_C$ en $A'$, $B'$ y $C'$ respectivamente.$ $TEX: Sean:$ $TEX: $\overline{BC} = a$, $\angle BAC = \alpha$$ $TEX: $\overline{CA} = b$, $\angle CBA = \beta$$ $TEX: $\overline{AB} = c$, $\angle ACB = \gamma$$ $TEX: $s = \dfrac{a+b+c}{2}$$ $TEX: $\left( {ABC} \right) = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ $TEX: Sabemos que, $\overline{BA'} + \overline{A'C} = a$. Pero $\overline{B'B} = \overline{BA'}$ y $\overline{A'C} = \overline{CC'}$$ $TEX: $\overline{B'A} + \overline{AC'} = a + b + c$$ $TEX: Del mismo modo,$ $TEX: $\overline{B'A} = \overline{AC'} = s$$ $TEX: $\overline{B'B} = s-c$$ $TEX: $\overline{C'C} = s-b$$ $TEX: Por otro lado, podemos notar que:$ $TEX: $\displaystyle \frac{r_A \cdot c}{2} + \frac{r_A \cdot b}{2} - \frac{r_A \cdot a}{2} = \left( {ABC} \right)$$ $TEX: $\displaystyle r_A \left( {\frac{c+b+a-2a}{2}} \right) = \left( {ABC} \right)$$ $TEX: $\displaystyle r_A \left( {s-a} \right) = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ $TEX: $\displaystyle r_A = \sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}$$ $TEX: Por pitágoras en el $\vartriangle AB'O_A$ se tendrá que:$ $TEX: $\displaystyle \overline{AO_A} = \sqrt{\frac{s}{s-a} \left( {s(s-a) + (s-b)(s-c)} \right)}$$ $TEX: Ahora, al problema:$ $TEX: $\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{r_A}{\overline{AO_A}}$$ $TEX: $\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{\dfrac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}}{\sqrt{\dfrac{s}{s-a} \left( {s(s-a) + (s-b)(s-c)} \right)}}$$ $TEX: $\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s(s-a) + (s-b)(s-c)}}$$ $TEX: $\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{2s^2 -s(2s) +bc}}$$ $TEX: $\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$$ Ahí concluye el problema, lo que sigue en el spoiler está directamente relacionado con identidades similares =). $TEX: Si notamos que $\angle BO_AB' = \dfrac{\beta}{2}$, tendremos:$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\beta}{2} = \frac{\overline{BB'}}{r_A}$$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\beta}{2} = \frac{s-c}{\sqrt{\dfrac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}}$$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\beta}{2} = \sqrt{\dfrac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$$ $TEX: Si trabajamos del mismo modo sobre los vértices $B$ y $C$, obtendremos identidades simétricas como las que siguen:$ $TEX: $\displaystyle r_A = \sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}$$ $TEX: $\displaystyle r_B = \sqrt{\frac{s(s-c)(s-a)}{s-b}}$$ $TEX: $\displaystyle r_C = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)}{s-c}}$$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\beta}{2} = \sqrt{\dfrac{(s-c)(s-a)}{s(s-b)}}$$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\gamma}{2} = \sqrt{\dfrac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$$ $TEX: $\displaystyle r_A \cdot \tan \frac{\alpha}{2} = \dfrac{(s-b)(s-c)}{s-a}$$ $TEX: $\displaystyle r_B \cdot \tan \frac{\beta}{2} = \dfrac{(s-c)(s-a)}{s-b}$$ $TEX: $\displaystyle r_C \cdot \tan \frac{\gamma}{2} = \dfrac{(s-a)(s-b)}{s-c}$$

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2010, 01:45 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Tela @ Feb 18 2010, 03:11 PM) $TEX: Si notamos que $\angle BO_AB' = \dfrac{\beta}{2}$, tendremos:$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\beta}{2} = \frac{\overline{BB'}}{r_A}$$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\beta}{2} = \frac{s-c}{\sqrt{\dfrac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}}$$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\beta}{2} = \sqrt{\dfrac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$$ $TEX: Si trabajamos del mismo modo sobre los vértices $B$ y $C$, obtendremos identidades simétricas como las que siguen:$ $TEX: $\displaystyle r_A = \sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}$$ $TEX: $\displaystyle r_B = \sqrt{\frac{s(s-c)(s-a)}{s-b}}$$ $TEX: $\displaystyle r_C = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)}{s-c}}$$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\beta}{2} = \sqrt{\dfrac{(s-c)(s-a)}{s(s-b)}}$$ $TEX: $\displaystyle \tan \frac{\gamma}{2} = \sqrt{\dfrac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$$ $TEX: $\displaystyle r_A \cdot \tan \frac{\alpha}{2} = \dfrac{(s-b)(s-c)}{s-a}$$ $TEX: $\displaystyle r_B \cdot \tan \frac{\beta}{2} = \dfrac{(s-c)(s-a)}{s-b}$$ $TEX: $\displaystyle r_C \cdot \tan \frac{\gamma}{2} = \dfrac{(s-a)(s-b)}{s-c}$$ Las fórmulas que obtuvo Tela para el seno y tangente se llaman Fórmulas de Briggs. Hay una además para el coseno. Pueden obtenerse también de una forma netamente algebraica. -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2010, 02:33 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Sí, usemos el hecho de que es $TEX: $$\operatorname{sen}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}},$$$ para $TEX: $0\le\alpha\le2\pi$$ ahora aplicaquemos la Ley del Coseno y obtenemos, $TEX: \begin{eqnarray}<br /> \operatorname{sen}\frac{\alpha }{2}&=&\sqrt{\frac{1-\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}{2}} \\ <br /> & =&\sqrt{\frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{4bc}} \\ <br /> & =&\sqrt{\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{4bc}} \\ <br /> & =&\sqrt{\frac{(2s-2b)(2s-2c)}{4bc}} \\ <br /> & =&\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}.<br />\end{eqnarray}$

danielomalmsteen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2010, 05:33 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Buenas soluciones! --------------------

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