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> Progresión y ec cuadrática.
inakamono
mensaje Feb 5 2010, 01:51 PM
Publicado: #1


Dios Matemático
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TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Si }}A = \left\{ {a,b,c} \right\} \subset \Re - \left\{ 0 \right\}{\text{ tal que satisface las siguientes propiedades:}} \hfill \\<br /> {\text{a}}{\text{. A es una progresion aritmetica}} \hfill \\<br /> {\text{b}}{\text{. }}a,{\text{ }}b,{\text{ }}c{\text{ son los coeficientes de una ecuacion cuadratica}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{c}}{\text{. }}\frac{1}<br />{3}\left( {a + b + c} \right) = x_1 + x_2 \hfill \\<br /> {\text{d}}{\text{. }}x_1 \bullet x_2 + 7 = b.{\text{ Donde }}x_1 {\text{ y }}x_2 {\text{ son las raices de la ecuacion cuadratica}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Determine los numeros a}}{\text{, b y c}}{\text{. }} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />
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Uchiha Itachi
mensaje Feb 5 2010, 03:05 PM
Publicado: #2


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TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaqGdb<br />% Gaae4Baiaab6gacaqGZbGaaeyAaiaabsgacaqGLbGaaeOCaiaabwga<br />% caqGTbGaae4BaiaabohacaqGGaGaaeiiamaacmaabaGaeqiUdeNaey<br />% OeI0IaamizaiaacYcacqaH4oqCcaGGSaGaeqiUdeNaey4kaSIaamiz<br />% aaGaay5Eaiaaw2haaiaabccacaqGUbGaaeyDaiaab2gacaqGLbGaae<br />% OCaiaab+gacaqGZbGaaeiiaiaabwgacaqGUbGaaeiiaiaabcfacaqG<br />% UaGaaeyqaiaabccacaqGXbGaaeyDaiaabwgacaqGGaGaae4Caiaabg<br />% gacaqG0bGaaeyAaiaabohacaqGMbGaaeyyaiaabogacaqGLbGaaeOB<br />% aiaabccacaqGSbGaaeyyaiaabohacaqGGaGaae4yaiaab+gacaqGUb<br />% GaaeizaiaabMgacaqGJbGaaeyAaiaab+gacaqGUbGaaeyzaiaaboha<br />% caqGGaGaaeizaiaabggacaqGKbGaaeyyaiaabohaaeaacaqGLbGaae<br />% OBaiaabccacaqGLbGaaeiBaiaabccacaqGWbGaaeOCaiaab+gacaqG<br />% IbGaaeiBaiaabwgacaqGTbGaaeyyaiaab6caaeaaaeaacaqGmbGaae<br />% yDaiaabwgacaqGNbGaae4BaiaabccacaqG6aGaaeiiamaalaaabaGa<br />% aGymaaqaaiaaiodaaaGaeyyXICTaaG4maiabeI7aXjabg2da9iaadI<br />% hadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqGHRaWkcaWG4bWaaSbaaSqaaiaa<br />% ikdaaeqaaOGaeyO0H4TaeqiUdeNaeyypa0ZaaSaaaeaacqGHsislcq<br />% aH4oqCaeaacqaH4oqCcqGHsislcaWGKbaaaiabgkDiEpaalaaabaGa<br />% eyOeI0IaaGymaaqaaiabeI7aXjabgkHiTiaadsgaaaGaeyypa0JaaG<br />% ymaiabgkDiElabeI7aXjabgkHiTiaadsgacqGH9aqpcqGHsislcaaI<br />% XaGaeyO0H49aauIhaeaacqaH4oqCcqGH9aqpcaWGKbGaeyOeI0IaaG<br />% ymaaaaaeaaaeaacaqG0bGaaeyyaiaab2gacaqGIbGaaeyAaiaabwga<br />% caqGUbGaaeiiaiaabQdacaqGGaWaaSaaaeaacqaH4oqCcqGHRaWkca<br />% WGKbaabaGaeqiUdeNaeyOeI0IaamizaaaacqGH9aqpcqaH4oqCcqGH<br />% sislcaaI3aGaaeilaiaabccacaqGHbGaae4CaiaabMgacaqGGaGaae<br />% iCaiaab+gacaqGYbGaaeiiaiaabYgacaqGVbGaaeiiaiaabggacaqG<br />% UbGaaeiDaiaabwgacaqGYbGaaeyAaiaab+gacaqGYbGaaeiiaiaabo<br />% gacaqGVbGaaeOBaiaabohacaqGLbGaae4zaiaabwhacaqGPbGaaeyB<br />% aiaab+gacaqGZbGaaeiiaiaabQdacaqGGaWaaSaaaeaacaWGKbGaey<br />% OeI0IaaGymaiabgUcaRiaadsgaaeaacaWGKbGaeyOeI0IaaGymaiab<br />% gkHiTiaadsgaaaGaeyypa0JaamizaiabgkHiTiaaigdacqGHsislca<br />% aI3aaabaGaeyO0H49aaSaaaeaacaaIYaGaamizaiabgkHiTiaaigda<br />% aeaacqGHsislcaaIXaaaaiabg2da9iaadsgacqGHsislcaaI4aGaey<br />% O0H4TaaGOmaiaadsgacqGHsislcaaIXaGaeyypa0JaaGioaiabgkHi<br />% TiaadsgacqGHshI3caWGKbGaeyypa0JaaG4maaqaaaqaaiaabcfaca<br />% qGVbGaaeOCaiaabccacaqGSbGaae4BaiaabccacaqG0bGaaeyyaiaa<br />% b6gacaqG0bGaae4BaiaabYcacaqGGaGaaeiBaiaab+gacaqGZbGaae<br />% iiaiaabogacaqGVbGaaeyzaiaabAgacaqGPbGaae4yaiaabMgacaqG<br />% LbGaaeOBaiaabshacaqGLbGaae4CaiaabccacaqGKbGaaeyzaiaabc<br />% cacaqGSbGaaeyyaiaabccacaqGLbGaae4yaiaab6cacaqGGaGaae4y<br />% aiaabwhacaqGHbGaaeizaiaabkhacaqGHbGaaeiDaiaabMgacaqGJb<br />% GaaeyyaiaabccacaqGZbGaae4Baiaab6gacaqGGaGaaeOoaiaabcca<br />% daGadaqaaiabgkHiTiaaigdacaGGSaGaaGOmaiaacYcacaaI1aaaca<br />% GL7bGaayzFaaGaaeOlaaqaaaqaaiaabofacaqGHbGaaeiBaiaabwha<br />% caqGKbGaae4Baiaabohaaaaa!5B39!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Consideremos }}\left\{ {\theta - d,\theta ,\theta + d} \right\}{\text{ numeros en P}}{\text{.A que satisfacen las condiciones dadas}} \hfill \\<br /> {\text{en el problema}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Luego : }}\frac{1}<br />{3} \cdot 3\theta = x_1 + x_2 \Rightarrow \theta = \frac{{ - \theta }}<br />{{\theta - d}} \Rightarrow \frac{{ - 1}}<br />{{\theta - d}} = 1 \Rightarrow \theta - d = - 1 \Rightarrow \boxed{\theta = d - 1} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{tambien : }}\frac{{\theta + d}}<br />{{\theta - d}} = \theta - 7,{\text{ asi por lo anterior conseguimos : }}\frac{{d - 1 + d}}<br />{{d - 1 - d}} = d - 1 - 7 \hfill \\<br /> \Rightarrow \frac{{2d - 1}}<br />{{ - 1}} = d - 8 \Rightarrow 2d - 1 = 8 - d \Rightarrow d = 3 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Por lo tanto}}{\text{, los coeficientes de la ec}}{\text{. cuadratica son : }}\left\{ { - 1,2,5} \right\}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Saludos}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]


--------------------
Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile

Magíster en ciencias mención matemática,
Profesor de estado en matemáticas y computación,
Licenciado en educación matemáticas y computación,
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inakamono
mensaje Feb 5 2010, 03:24 PM
Publicado: #3


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sebasm
mensaje Feb 5 2010, 03:39 PM
Publicado: #4


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mi respuesta biggrin.gif :

TEX: 1)$ax^2+bx+c=0$<br /><br />2)$a+b+c=3(x_{1}+x_{2})$<br /><br />3)$x_{1}x_{2}+7=b$ con $x_{1}$ y $x_{2}$ raices de 1)<br /><br />ahora si bien $a,b,c$ estan en PA, entonces a=a; b=a+d; c=a+2b, concluyendo:<br /><br />4)$a+c=2b$ <br /><br />luego se sabe que $x_{1}+x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b}{a}$<br /><br />ahora $x_{1}x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{c}{a}$<br /><br />ahora $a+b+c=3(x_{1}+x_{2})=3(\dfrac{-b}{a})$ y ocupando 4)<br /><br />$2b+b=\dfrac{-3b}{a}$ entonces $3ab=-3b$ por lo tanto $a=-1$<br /><br />ocupando 3) $\dfrac{c}{a}+7=-c+7=b$<br /><br />ocupando 2) $-1+b+c=3\dfrac{-b}{a}=3b$<br /><br />$-c+7=b$<br /><br />$-1+b+c=3b$ sumandolas<br /><br />$6+b=3b$ por tanto $b=2$<br /><br />ahora $-c+7=2$ entonces $c=5$<br /><br />por tanto los coeficientes de la cuadratica son: {-1,2,5}
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