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Certamen 1 Plev 2009

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C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2010, 11:29 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br />\noindent<br />\begin{center}<br />{\Large Evaluación 1 (Cálculo Complejo del PLEV)}\\<br /><br />%{\large Cálculo Complejo}<br />\normalsize Prof. Jose Aguayo%\footnote{Tiempo máximo: 100 minutos\\12 de Enero del 2009}\\<br />%21 de Enero del 2009<br />\end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Describa<br />\begin{itemize}<br /> \item[(a)] geométricamente el conjunto de puntos $z \in \mathbb{C}$ que satisface:<br /> $$ \|z-1\|=3\|z-2\|.$$<br /> \item[(b)] las funciones componentes de $f(z)=z^3$<br /> y verifique que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen en su dominio.<br />\end{itemize}<br />\item Suponga que $A$ es un abierto conexo. Muestre que si $f\colon A\subset \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ es analítica y $f(z)\in \mathbb{R}$, entonces $f=cte$.<br />\item Muestre que:<br />\begin{itemize}<br /> \item[(a)] $$\|\sin z\|^2=\sin^2x+\sinh^2x$$<br /> \item[(b)] y deduzca de ésto que:$$\|\sinh y\|<\|\sin z\|<\|\cosh y\|.$$<br />\end{itemize}<br />\item Sea $c$ un complejo no-nulo fijo. La función $f(z)=c^z$ es una función multi-valuada.<br />\begin{itemize}<br /> \item[(a)] Haga las restricciones necesarias para que $f$ sea uni-valuada.<br /> \item[(b)] Determine su derivada.<br /> \item[©] ¿Es $f$ una función entera? <br />\end{itemize}<br />\item Evaluar las siguientes integrales:<br />\begin{itemize}<br /> \item[(a)] $\int_{\gamma}\mathrm{Im}\,zdz$, con $\gamma=\gamma_1+\gamma_2$, donde $\gamma_1$ es el segmento que une a 0 con $i$ y $\gamma_2$ es el segmento que une a $i$ con $i+1$.<br /> \item[(b)] $\int_{\gamma}ze^{z^2}dz$, donde $\gamma$ es la semicircunferencia centrada en el origen y que une a los puntos $i$ con $-i$.<br />\end{itemize}<br /><br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: <br />\begin{enumerate}<br />\item[6] Sea $f\colon A\subset \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ una función analítica y sea $\gamma $ una curva suave a trazos definida en el intervalo $[a,\,b]$ tal que $\gamma\left([a,\,b]\right)\subset A$. Demuestre que:<br />$$\int_{-\gamma}f(z)\,dz=-\int_{\gamma}f(z)\,dz$$<br />Ind.: Recuerde que $\gamma(-t)=\gamma(a+b-t).$<br /><br />\end{enumerate}<br />$ -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...