 Problema 8 - Training Maratón PSU 2010 |
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 Jan 27 2010, 09:29 PM
Publicado:
#1
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 Staff FMAT  Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad:  Sexo:   |
![TEX: \noindent Suponga que $x,y,z>0$ y $xyz=1$.\\<br />\\<br />El valor de<br />$$\mathcal{A}=x^{\dfrac{1}{\ln(y)}+\dfrac{1}{\ln(z)}}\cdot y^{\dfrac{1}{\ln(z)}+\dfrac{1}{\ln(x)}}\cdot z^{\dfrac{1}{\ln(x)}+\dfrac{1}{\ln(y)}}$$<br />corresponde a<br />\begin{itemize}<br />\item[a)] $e^{-3}$<br />\item[b)] $1$<br />\item[c)] $e$<br />\item[d)] $e^2$<br />\item[e)] Depende de los valores de $x,y,z$.<br />\end{itemize}](./tex/d9657d9237232bec951cdb32d42e2b02.png)
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Feb 23 2010, 11:59 AM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.032 Registrado: 25-March 09 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 46.018 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
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Feb 23 2010, 06:40 PM
Publicado:
#3
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
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![TEX: \[{x^a} = {e^{a\ln x}}\]<br />](./tex/b95367bd695e740c28374e1125669b03.png)
se tiene que ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\rm A} = {e^{\left( {\frac{1}<br />{{\ln y}} + \frac{1}<br />{{\ln z}}} \right) \cdot \ln x}} \cdot {e^{\left( {\frac{1}<br />{{\ln z}} + \frac{1}<br />{{\ln x}}} \right) \cdot \ln y}} \cdot {e^{\left( {\frac{1}<br />{{\ln x}} + \frac{1}<br />{{\ln y}}} \right) \cdot \ln z}} \hfill \\<br /> {\rm A} = {e^{\left( {\frac{1}<br />{{\ln y}} + \frac{1}<br />{{\ln z}}} \right) \cdot \ln x + \left( {\frac{1}<br />{{\ln z}} + \frac{1}<br />{{\ln x}}} \right) \cdot \ln y + \left( {\frac{1}<br />{{\ln x}} + \frac{1}<br />{{\ln y}}} \right) \cdot \ln z}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/bdb2da29d1038668f4f9e2c000ff9f62.png)
![TEX: \[\begin{gathered}<br /> = \left( {\frac{1}<br />{{\ln y}} + \frac{1}<br />{{\ln z}}} \right) \cdot \ln x + \left( {\frac{1}<br />{{\ln z}} + \frac{1}<br />{{\ln x}}} \right) \cdot \ln y + \left( {\frac{1}<br />{{\ln x}} + \frac{1}<br />{{\ln y}}} \right) \cdot \ln z \hfill \\<br /> = \frac{{\ln x}}<br />{{\ln y}} + \frac{{\ln x}}<br />{{\ln z}} + \frac{{\ln y}}<br />{{\ln z}} + \frac{{\ln y}}<br />{{\ln x}} + \frac{{\ln z}}<br />{{\ln x}} + \frac{{\ln z}}<br />{{\ln y}} = \frac{{\ln x + \ln z}}<br />{{\ln y}} + \frac{{\ln x + \ln y}}<br />{{\ln z}} + \frac{{\ln y + \ln z}}<br />{{\ln x}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/3bd87f0be56f5cba1b869af63013029c.png)
![TEX: \[xyz = 1 \Rightarrow \ln x + \ln y + \ln z = 0\]<br />](./tex/aae4507199ec8d0e862c8448d239b827.png)
![TEX: \[{\rm A} = {e^{\frac{{ - \ln y}}<br />{{\ln y}} + \frac{{ - \ln z}}<br />{{\ln z}} + \frac{{ - \ln x}}<br />{{\ln x}}}} = {e^{ - 1 - 1 - 1}} = {e^{ - 3}}\]<br />](./tex/6ea0064e16f86a0685ed127c9f0112e6.png)
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Feb 23 2010, 07:18 PM
Publicado:
#4
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Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo: |
Bien, respuesta correcta.
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