 Única solución |
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 Jan 26 2010, 04:06 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 560 Registrado: 24-December 09 Miembro Nº: 64.629  |
Sea
 . Mostrar que el problema   Tiene a lo mas una solución hint: Mensaje modificado por aleph_omega el Jan 26 2010, 04:07 PM |
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May 22 2010, 03:03 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:  |
![TEX: \noindent Es claro que $u\equiv 0$ es una solución del problema. Definamos<br />\[D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:|x|\leq 1,|y|\leq 1\right\}.\]<br />Sea $u\in\mathcal{C}^2\left(D\right)$ una solución cualquiera del problema y recordemos que<br />\[\nabla\cdot \left(g\nabla f\right)=\nabla g\cdot \nabla f+g\triangle f.\]<br />Como $u$ es solución del problema, podemos decir que<br />\begin{eqnarray}\iint_D u\triangle udA=0\Rightarrow \iint_D\nabla\cdot \left(u\nabla u\right)-\left|\nabla u\right|^2dA=0.\end{eqnarray}<br />Pero, por el Teorema de Green, se tiene que<br />\[\iint_D\nabla\cdot \left(u\nabla u\right)dA=\iint_D\frac{\partial}{\partial x}\left(u\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(u\frac{\partial u}{\partial y}\right)dA=-\int_{\partial D}u\frac{\partial u}{\partial y}dx-u\frac{\partial u}{\partial x}dy,\]<br />donde<br />\[\partial D=\left\{|x|=1\right\}\cup\left\{|y|=1\right\}.\]<br />Luego, usando el que $u\equiv 0$ sobre $\left\{|x|=1\right\}$, obtenemos que<br />\[-\iint_D\nabla\cdot \left(u\nabla u\right)dA=\int_{\left\{|y|=1\right\}}u\frac{\partial u}{\partial y}dx=\int_{\left\{|y|=1\right\}}u\frac{\partial u}{\partial x}dx,\]<br />con<br />\begin{equation*}\begin{aligned}<br />\int_{\left\{|y|=1\right\}}u\frac{\partial u}{\partial x}dx&=\int_1^{-1}u(x,-1)\frac{\partial u(x,1)}{\partial x}dx+\int_{-1}^1u(x,1)\frac{\partial u(x,-1)}{\partial x}dx\\<br />&=-\left.\frac{1}{2}\left(u^2(x,1)-u^2(x,-1)\right)\right|^1_{-1}=0,<br />\end{aligned}\end{equation*}<br />pues $u\equiv 0$ sobre $\left\{|x|=1\right\}$. Finalmente, reemplazando en (1), tenemos que<br />$\left|\nabla u\right|=0\Rightarrow u$ es constante sobre $D$ y por ende, $u\equiv 0$ sobre $D$ pues es regular se anula en $\partial D$. $\square$<br />](./tex/c3c3c284d29794dcb86ac317766a876a.png)
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![TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]](./tex/e0e88dba678ca3ead120b088f41191b2.png)
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Jul 2 2010, 01:18 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 560 Registrado: 24-December 09 Miembro Nº: 64.629 |
Bien
Saludos, disculpar por mis errores. Mensaje modificado por aleph_omega el Jul 3 2010, 03:07 PM |
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Jul 2 2010, 01:38 PM
Publicado:
#4
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
CITA(aleph_omega @ Jul 2 2010, 02:18 PM)  En términos generales está bien, me confundió un poco tu forma de escribir la frontera de D. Queda mejor escrita asi:  .Por otro lado, dado que la función es constante en D y se anula en su frontera, basta la continuidad de la función en la adherencia del dominio para concluir que u es identicamente nula. Eso no lo explicité ( puse C^2 sin indicar dominio) pero se entendía. Saludos. Pero  es un cuadrado no una bola :STampoco veo tan directo el que  se anule en la frontera para concluirlo pues a priori sólo sabemos que se anula en una parte de ella.
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