NM4 Individual, recuperativa

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NM4 Individual, recuperativa, Santiago

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GmHernan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2010, 10:10 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 114 Registrado: 4-March 09 Desde: Ñuñoa Miembro Nº: 44.042 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />1) Considere un cuadriculado de 49 x 41 donde se escriben de izquiera a derecha y de arriba a abajo los números del 1 al 2009. Kenshin posee 2 moldes<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />$A$ \begin{tabular}{\|l\|r\|c\|}<br />\hline<br />-4 & +5 \\<br />\hline<br />+9 & +2 \\<br />\hline<br />\end{tabular} $B$ \begin{tabular}{\|l\|r\|c\|}<br />\hline<br />x1 & x11 \\<br />\hline<br />x11 & x1 \\<br />\hline<br />\end{tabular}<br /><br />Kenshin coloca estos moldes cuantas veces quiera y donde quiera en el tablero, por ejemplo<br /><br />\begin{tabular}{\|l\|r\|c\|}<br />\hline<br />1 & 2 \\<br />\hline<br />42 & 43 \\<br />\hline<br />\end{tabular} Usando $A$, queda :<br />\begin{tabular}{\|l\|r\|c\|}<br />\hline<br />5 & -3 \\<br />\hline<br />51 & 45 \\<br />\hline<br />\end{tabular}<br /><br />Demuestre que luego de usar los moldes como se indica, la suma de todos los números del tablero nunca termina en cero<br /><br /><br />2) Sean $ 2010 $ enteros distintos<br /><br /><br /><br /><br /><br />a) Pruebe que existen $ X e Y $ distintos, tales que $ X - Y $ es divisible por $ 2009 $<br /><br /><br /><br /><br /><br />b) Muestre que existen $ k > 1 $ tal que $ 2^k - 1 $ es divisible por $ 2009 $<br /><br /><br />$ Me quedo reapretado, aún no domino latex, pero se nota las preguntas. Saludos No era Kenshin, sino Cristobal, pero es mas divertido Mensaje modificado por GmHernan el Jan 22 2010, 10:11 PM -------------------- Son unos loquillos QUOTE(toto Usorno @ Nov 13 2010, 07:54 PM) Loco, tomate otro año no más erís joven no le hagai caso a esta manga de ñoños culiaos que serían incapaces de perder años porq no tendrían de que vanagloriarse (sus únicos logros son los académicos). Sigue adelante no más, encuentra tu vocación y si son 10 años los que tenís q esperar, esperalos... en Europa los hue.ones salen del colegio y salen a recorrer el mundo como dos años y de ahí se meten a la universidad... nadie te apura socio... SE FELIZ QUOTE(MatematicoPrincipiante @ Jul 17 2012, 05:18 PM) .......... no importa cual sea la identidad de kaissa...estamos en un foro de matemáticas, no en facebook, importa un pico si kaissa es hombre, mujer, buena para culear, etc., .......... QUOTE(salvador.augusto allende @ Jul 24 2012, 10:19 PM) .......... pero estas escuelas qls valen callampa, lo unico bueno que tienen son las mansas perras, en otras palabras solamente irias a la u a remojar el pate.... QUOTE(Maxooon @ Mar 6 2012, 06:57 AM) Santiago lindo, santiago hermoso, me encanta tu aroma a smog por las mañanas y el sonido de los claxon por las tardes, tu gente mal genio y apurada, tu locomocion congestionada, y que todas las noches me hagas cerrar mi casa con candados, llaves, pestillos y alarmas. QUOTE(MatematicoPrincipiante @ Jul 17 2012, 05:18 PM) .......... no importa cual sea la identidad de kaissa...estamos en un foro de matemáticas, no en facebook, importa un pico si kaissa es hombre, mujer, buena para culear, etc., .......... QUOTE(//Whiplash// @ Jun 1 2010, 11:44 PM) Las mujeres también tenemos derechos QUOTE(salvador.augusto allende @ Jul 24 2012, 10:19 PM) .......... pero estas escuelas qls valen callampa, lo unico bueno que tienen son las mansas perras, en otras palabras solamente irias a la u a remojar el pate.... QUOTE(Maxooon @ Mar 6 2012, 06:57 AM) Santiago lindo, santiago hermoso, me encanta tu aroma a smog por las mañanas y el sonido de los claxon por las tardes, tu gente mal genio y apurada, tu locomocion congestionada, y que todas las noches me hagas cerrar mi casa con candados, llaves, pestillos y alarmas. QUOTE(Kaissa @ Jan 3 2013, 06:12 PM) Dios! Señor! qué hemos hecho para merecer leer esto!!!! Hubiera tenido más sentido decir "un thread del año pasado" Voy a enumerar un poco: 1- lógica fail. 2- redacción fail. 3- gramática fail. Me vas a disculpar, estimado coquitao pero le voy a sacar un screenshot a esto y lo voy a nominar al "post fmat del año" (pero aún estoy en la indecisión de que sea 2012 o 2013 :( )

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2010, 10:28 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(GmHernan @ Jan 23 2010, 12:10 AM) $TEX: <br />$\boxed {\mathcal {P}_{2}}$ Sean $ 2010 $ enteros distintos<br /><br />a) Pruebe que existen $ X$ e $Y $ distintos, tales que $ X - Y $ es divisible por $ 2009 $<br /><br />b) Muestre que existen $ k > 1 $ tal que $ 2^k - 1 $ es divisible por $ 2009 $<br />$ $TEX: a) Existen $2009$ restos posibles modulo $2009$, y como tenemos $2010$ numeritos (usted puede verlo por palomar), existen dos de ellos cuyo resto modulo $2009$ es el mismo. Considere su diferencia y estamos listos.<br /><br />b) Considere los $2010$ numeros $2,2^2,2^3,...,2^{2010}$. Por la parte $a)$ existen $1\leq m< n\leq 2010$ tales que $2^n-2^m=2^{m}(2^{n-m}-1)$ es multiplo de $2009$. Pero notando que $mcd(2^m, 2009)=1$ para $m>0$, entonces $2009$ divide a $2^{n-m}-1$. Tome $k=n-m$ y finalizamos.$ No me pude resistir a este "clasico" xD, gracias GmHernan por aportar con la prueba -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2010, 10:52 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(GmHernan @ Jan 23 2010, 12:10 AM) $TEX: $\boxed {\mathcal {P}_1}$ Considere un cuadriculado de 49 x 41 donde se escriben de izquiera a derecha y de arriba a abajo los números del 1 al 2009. Kenshin posee 2 moldes<br />$A$ \begin{tabular}{\|l\|r\|c\|}<br />\hline<br />-4 & +5 \\<br />\hline<br />+9 & +2 \\<br />\hline<br />\end{tabular} $B$ \begin{tabular}{\|l\|r\|c\|}<br />\hline<br />x1 & x11 \\<br />\hline<br />x11 & x1 \\<br />\hline<br />\end{tabular}<br /><br />Kenshin coloca estos moldes cuantas veces quiera y donde quiera en el tablero, por ejemplo<br /><br />\begin{tabular}{\|l\|r\|c\|}<br />\hline<br />1 & 2 \\<br />\hline<br />42 & 43 \\<br />\hline<br />\end{tabular} Usando $A$, queda :<br />\begin{tabular}{\|l\|r\|c\|}<br />\hline<br />5 & -3 \\<br />\hline<br />51 & 45 \\<br />\hline<br />\end{tabular}<br /><br />Demuestre que luego de usar los moldes como se indica, la suma de todos los números del tablero nunca termina en cero$ $TEX: La suma de los numeros del tablero grande con el que juega Kenshin es: $$1+2+3+...+2009=1005\cdot 2009$$<br /><br />La cual claramente es impar. Ahora, si Kenshin juega con el molde A la suma de las entradas del tablero original aumenta en 12, y si aplica B, la suma aumenta o disminuye en un multiplo de 10 (esto de deja a cargo del lector). Por lo tanto, nunca se altera la paridad de la suma de los numeros del tablero, y eso ya es suficiente, pues la suma siempre sera impar.$ Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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