Conservativo? - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Cálculo > Cálculo Vectorial

Reply to this topic

Start new topic

Conservativo?

Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2010, 08:05 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\\$Decida si el campo vectorial: \[F(x,y) = \left(\dfrac{-y}{x^2+y^2}\ ,\ \dfrac{x}{x^2+y^2}\right)\]es conservativo en $Dom(F) = \mathbb{R}^2 - \{ (0,0) \}$ . En caso positivo encuentre la función potencial, y en caso contrario, muestre porque no lo es.$ Espero no este -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2010, 08:48 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Voy a demostrar que $\displaystyle\int\dfrac{-ydx+xdy}{x^{2}+y^{2}}=\int Pdx+Qdy$ es independiente del camino elegido mientras est\'e dentro de un dominio simplemente conexo que no contenga al origen, ya que <br />\begin{eqnarray}<br />\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}<br />\end{eqnarray}<br />excepto en el origen.\\<br />Para hallar lo que pide Kura usamos una l\'inea rota desde $(1,0)$ hasta $(x,y)$, de este modo encontramos una diferencial conocida: las coordenadas polares, en efecto<br />\begin{eqnarray}<br />d\theta=d(\textrm{arctan})\dfrac{y}{x}=\dfrac{-ydx+xdy}{x^{2}+y^{2}}<br />\end{eqnarray}<br />$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2010, 08:53 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pero tu función potencial, tiene un dominio mas restringido del que pide el problema. PD: Se pide probar o refutar si es globalmente conservativa, y no localmente conservativa, por si quedo alguna duda. Mensaje modificado por Kura el Jan 19 2010, 08:57 PM -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2010, 08:59 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	ahaaaaaaaaaaa ahora veo la finalidad del ejercicio que buena! -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Pedro² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2010, 09:17 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 824 Registrado: 15-October 07 Desde: Valparaíso Miembro Nº: 11.342 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $\gamma$$ la circunferencia unitaria centrada en el origen, orientada positivamente. Una parametrización de dicha curva (usando coordenadas polares) viene dada por $TEX: $\mathbf{r}:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2,\;\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t)$$ Se tiene así que $TEX: <br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\displaystyle \oint_\gamma \mathbf{F}\cdot \vec{dr}&=\int_0^{2\pi}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\;dt\\<br />&=\int_0^{2\pi}(-\sin t,\cos t)\cdot (-\sin t,\cos t)\;dt=2\pi \neq 0<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$ Luego, dado que existe una curva cerrada contenida en $TEX: $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$$ tal que la integral antes calculada es no nula, se sigue que el campo no es conservativo. -------------------- Pedro P. Montero Silva Estudiante de Licenciatura en Ciencias, Mención Matemática* - Mechón 2009* "One rather curious conclusion emerges, that pure mathematics is on the whole distinctly more useful than applied. A pure mathematician seems to have the advantage on the practical as well as on the aesthetic side. For what is useful above all is technique, and mathematical technique is taught mainly through pure mathematics." G.H. Hardy

Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2010, 09:22 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Pedro² @ Jan 19 2010, 09:17 PM) Sea $TEX: $\gamma$$ la circunferencia unitaria centrada en el origen, orientada positivamente. Una parametrización de dicha curva (usando coordenadas polares) viene dada por $TEX: $\mathbf{r}:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2,\;\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t)$$ Se tiene así que $TEX: <br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\displaystyle \oint_\gamma \mathbf{F}\cdot \vec{dr}&=\int_0^{2\pi}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\;dt\\<br />&=\int_0^{2\pi}(-\sin t,\cos t)\cdot (-\sin t,\cos t)\;dt=2\pi \neq 0<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$ Luego, dado que existe una curva cerrada contenida en $TEX: $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$$ tal que la integral antes calculada es no nula, se sigue que el campo no es conservativo. Respuesta precisa y correcta. -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 20 2010, 05:44 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	El cálculo de la integral presente en el post de Pedro puede hacerse sin recurrir a la parametrización de la circunferencia unitaria. Basta con aplicar la fórmula integral de Cauchy a $TEX: $\displaystyle \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot dr$$ , la cual no es otra cosa más que la parte imaginaria de $TEX: $\displaystyle \int_{\gamma} \frac{\overline{z}}{\|z\|^{2}} \, dz$$ . -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 24 2010, 02:48 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	ASDF ASDF ASDF... -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

« Posterior · Cálculo Vectorial · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 07:56 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.