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Terna Pitagorica

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2010, 03:28 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Demuestre que si $a,b,c\in,\mathbb{N}$, y a,b y c son lados de un triangulo rectangulo entonces el producto de $abc$ es divisible por 30$ -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2010, 09:05 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Nadie lo intenta????, motivense. -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2010, 09:10 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Al menos hay un par, al menos un multiplo de 3 y al menos uno de 5, asi que el producto es multiplo de 30 -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2010, 09:23 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Feb 2 2010, 10:10 PM) Al menos hay un par, al menos un multiplo de 3 y al menos uno de 5, asi que el producto es multiplo de 30 Demuestrelo. Saludos -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2010, 09:40 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Utilizando un viejo Teorema de Fermat, tenemos que cualquier terna pitagórica en $\mathbb{N}^3$ puede ser obtenida con $a,b,c$ (con $a^2+b^2=c^2$) iguales a $m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2$ ($m>n$, naturales y $mcd(m;n)=1$) respectivamente. Luego se nos pide probar que $(m^2+n^2)(m^2-n^2)(2mn)$ es divisible por $30$, ya existe un par así que es divisible por $2$, probando con residuos cuadráticos módulo $3$, nos queda que si al menos uno de los $m,n$ tiene residuo cuadrático cero $mod.3$ entonces ya es divisible por $3$, el otro caso es cuando ambos números $m,n$ tienen residuo cuadrático $1 \ mod.3$, es decir, $3\|m^2-n^2$. Mismo caso para la divisibilidad por $5$ ($n^4 \equiv 0,1 (mod.5)$), si al menos uno de los $m,n$ tiene residuo $0$ es trivial, luego si ambos tienen residuo $1$, $5\|m^4-n^4$. $\blacksquare$$ Saludos Alguien diga algo que me salen telarañas xD -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2010, 10:26 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien mi estimado Makmat, yo al igual que usted, use la terna pitagorica primitiva, pero use el Pequeño teorema de Fermat para probar la divisivilidad por 5 y por tres independientemente, para probar la congruencia entre $TEX: $m^5n$ y $mn^5$$ en el modulo 15. Saludos -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 23 2011, 01:23 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	De hecho, el producto es divisible por 60 y no es necesario pasar por PTF, residuos cuadráticos o conocer las soluciones a $TEX: $x^{2}+y^{2}=z^{2}$$ . He aquí como sacar el resultado de la nada: $TEX: <br /><br />A. $abc$ es divisible por $3$.<br /><br />Si alguna entrada de $(a,b,c)$ es divisible por $3$, terminamos. En otro caso $c^{2} = a^{2}+b^{2}$ es igual con $2$ en módulo $3$, pero esto es imposible pues los cuadrados de los enteros que no son divisibles por $3$ son $1$ en módulo $3$.<br /><br />B. $abc$ es divisible por $5$.<br /><br />Si alguna entrada de $(a,b)$ es divisible por $5$, terminamos. En otro caso, $c^{2} = a^{2}+b^{2}$ es igual con $0, 2$ ó $3$ en módulo $5$. En el primer caso hay nada más que hacer pues tendríamos $5 \| c$, de donde se desprende que $5 \| abc$. Los otros dos casos son imposibles pues los cuadrados perfectos son $0, 1$ ó $4$ en módulo $5$.<br /><br />C. $abc$ es divisible por $4$.<br /><br />Si alguna entrada de $(a,b)$ es divisible por $4$, terminamos. En otro caso o ambas entradas son pares o exactamente una de las dos lo es. En el segundo caso tendríamos que $c^{2} = a^{2}+b^{2}$ es igual a $5$ en módulo $8$, lo cual es ciertamente imposible pues los cuadrados perfectos son $0, 1$ ó $4$ en módulo $8$. En el primer caso la conclusión deseada se tiene en automático.<br /><br />El resultado se sigue ahora de $A$, $B$, $C$ y del hecho que mcd$(3,4,5) = 1$.<br /><br />QED.<br /><br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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