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induccion, n^n>n!

Juanito Perez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2010, 12:49 AM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 262 Registrado: 17-July 09 Desde: La Florida Miembro Nº: 55.718 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Demuestre por induccion que $TEX: \[<br />n^n \geqslant n!<br />\]<br />$ si ademas alguien quiere aportar alguna demostracion usando al calculo (sin lhopital) bienvenida sea Mensaje modificado por Juanito Perez el Jan 16 2010, 12:52 AM

Gastón Burrull	Jan 16 2010, 12:54 AM Publicado: #2
Invitado	CITA(Juanito Perez @ Jan 16 2010, 02:49 AM) Demuestre por induccion que $TEX: \[<br />n^n \geqslant n!<br />\]<br />$ si ademas alguien quiere aportar alguna demostracion usando al calculo (sin lhopital) bienvenida sea ¿Es una consulta?, ¿Si es así en qué te caes?

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2010, 01:05 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: B. I.: Primero pruebas para n=1 y compruebas que es cierto.$ $TEX: H. I.: Luego supones que $n^n\ge n!$ es cierto.$ $TEX: T. I.: Debes demostrar que $(n+1)^{n+1}\ge (n+1)!$ es cierto. <br />Aquí utilizas la Hipótesis de Inducción (H. I.) en el desarrollo$ Mensaje modificado por OckUC el Jan 16 2010, 01:05 AM -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

Gastón Burrull	Jan 16 2010, 01:19 AM Publicado: #4
Invitado	Intenta lo que te dice OckUC, el problema no es tan difícil, te dejaré la solución en spoiler por si la quieres ver : El caso para $TEX: $n=1$$ es trivial. Supongamos que para cierto $TEX: $k$$ se cumple que $TEX: $k^k\geq k!$$ , debemos mostrar que es $TEX: $(k+1)^{(k+1)}\geq (k+1)!$$ , $TEX: $(k+1)^{(k+1)}=(k+1)^k(k+1)\geq k^k(k+1)\underbrace{\geq}_{H.I} k!(k+1)=(k+1)!\ \square$$

Juanito Perez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2010, 01:24 AM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 262 Registrado: 17-July 09 Desde: La Florida Miembro Nº: 55.718 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ooh muchas gracias nunca habia considerado ese truco de la transitividad, excelente lo considerare

Gastón Burrull	Jan 16 2010, 01:48 AM Publicado: #6
Invitado	Demostrarlo por inducción me costó más, una demostración rápida de esto, usando notación de productoria es: $TEX: $\displaystyle n^n=\underbrace{n\cdots n}_{n\ \text{terminos}}=\prod_{k=1}^n n\geq \prod_{k=1}^n k=1\cdot 2\cdots n=n!$$

xdanielx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2010, 09:16 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 3.360 Registrado: 11-March 08 Miembro Nº: 16.617	usa la formula de stirling que para numeros suficientemente grandes se cumple $TEX: $$<br />n! \approx \sqrt {2\pi n} \frac{{n^n }}<br />{{e^n }}<br />$$$ y la desigualdad podria transformarse en $TEX: $$<br />e^{2n} \geqslant 2\pi n<br />$$$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2010, 10:40 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[(n+1)^{n+1}\geq (n+1)!\iff (n+1)^n\geq n!\]$ Pero $TEX: \[(n+1)^n\geq n^n\]$ . -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Gastón Burrull	Jan 16 2010, 04:19 PM Publicado: #9
Invitado	CITA(Abu-Khalil @ Jan 16 2010, 12:40 PM) $TEX: \[(n+1)^{n+1}\geq (n+1)!\iff (n+1)^n\geq n!\]$ Pero $TEX: \[(n+1)^n\geq n^n\]$ . Me copiaste

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