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> ayuda en problema
einstenio16
mensaje Jan 6 2010, 07:14 PM
Publicado: #1


Dios Matemático
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Tengo una duda. Hoy tuvimos el ejercicio 1 correspondiente a vectores. yo creo que hice una correcta respuesta, pero quiero tener otras formas de hacerlo. El problema decía algo así:

TEX: Problema (2.b)
TEX: Muestre que en general para cualquier triángulo $ABC$, el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del triángulo es paralelo al tercer lado y que la longitud del segmento es la mitad de la longitud del tercer lado.


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Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no


He vuelto con las pilas cargaditas!!!


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Gastón Burrull
mensaje Jan 6 2010, 07:21 PM
Publicado: #2





Invitado






Puedes fijarte que se cumple el teorema de Thales.
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snw
mensaje Jan 6 2010, 07:46 PM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo
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Tambien puedes escribir los puntos del triangulo TEX: ABC donde TEX: $A=(a_1,a_2),B=(b_1,b_2)$ y TEX: $C=(c_1,c_2)$, entonces puedes expresar de la misma forma los puntos medios y luego trabajar con la ecuacion de la recta para demostrar que es paralela.


saludos


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blep
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NkO
mensaje Jan 7 2010, 07:33 PM
Publicado: #4


Principiante Matemático
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MMmmm... a mi me resulto de una forma parecida a la que dice snw : (no se usar latex asi ke ojala ke entendai)
Primero Denotas los puntos A B y C = A(a1,a2) , B(b1,b2) y C(c1,c2) , luego obtienes los puntos medios de AB y AC la union de estos puntos medios (que denotaremos AB = H y AC = G) deberia ser paralela a BC (tercer lado) por lo que la podemos escribir como : BC = TEX: @HG con TEX: @ perteneciente a los reales y para obtener al mismo tiempo si 2HG=BC reemplazamos TEX: @ = 2 y obtendriamos =
BC=TEX: 2 HG y el valor de BC es conocido ( Se saca C - B )
luego, debes lograr igualar las coordenadas de HG con las coordenadas de TEX: 1/2  BC ( no voi a anotar todas las letras x ke va a kear la kagaa xD ) pero finalmente te debería kedar algo como esto =

(c1/2 - b1/2 , c2/2 - b2/2 ) = (c1/2 - b1/2 , c2/2 - b2/2 ) <------- Este lado de la igualdad no se observa al instante

asi ke teni ke desarrollarlo asta ke te de lo del otro lado xD.

Mensaje modificado por NkO el Jan 7 2010, 07:34 PM
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EnemyOfGod286
mensaje Jan 8 2010, 09:08 PM
Publicado: #5


Dios Matemático Supremo
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definimos un triangulo ABC con coordenadas de vertices:

TEX: $$A=\dbinom{a_{1}}{a_{2}}, B=\dbinom{a_{3}}{a_{4}} y$$ TEX: $$C=\dbinom{a_{5}}{a_{6}}$$.
Ahora definimos TEX: M y TEX: N como los puntos medios de los lados TEX: AB y TEX: AC respectivamente.

Luego por definicion de punto medio de un segmento tendremos que las coordenadas de TEX: M y TEX: N seran respectivamente:

TEX: $$M=\dbinom{\frac{a_{1}+a_{3}}{2}}{\frac{a_{2}+a_{4}}{2}}$$ y TEX: $$N=\dbinom{\frac{a_{1}+a_{5}}{2}}{\frac{a_{2}+a_{6}}{2}}$$. Luego lo que debemos demostrar es que: TEX: $$BC\parallel{MN}$$ y que TEX: BC=2MN.
Primero demostraremos si son paralelos. Para que dos vectores sean paralelos sus pendientes deben ser iguales, entonces sacaremos las pendientes de TEX: BC y TEX: MN:

Pendiente de TEX: BC: TEX: $$\frac{a_{6}-a_{4}}{a_{5}-a_{3}}$$. Luego como no podemos simplificar nada lo dejaremos tal cual.

Pendiente de TEX: MN: TEX: $$\frac{\frac{a_{2}+a_{6}}{2}-\frac{a_{2}+a_{4}}{2}}{\frac{a_{1}+a_{5}}{2}-\frac{a_{1}+a_{3}}{2}}$$. Luego de simplificar la fraccion llegamos a: TEX: $$\frac{a_{6}-a_{4}}{a_{5}-a_{3}}$$. Por lo tanto como TEX: BC y TEX: MN tienen la misma pendiente, luego TEX: BC y TEX: MN son paralelos.

Ahora como quedo demostrado que tienen la misma pendiente, entonces TEX: BC=t*MN. Entonces lo que debemos hacer es sacar el vector desplazamiento de ambos segmentos.

Desplazamiento TEX: BC=C-B=>TEX: $$\dbinom{a_{5}}{a_{6}}-\dbinom{a_{3}}{a_{4}}$$=>TEX: $$\dbinom{a_{5}-a_{3}}{a_{6}-a_{4}}$$

Desplazamiento TEX: MN=N-M=>TEX: $$\dbinom{\frac{a_{1}+a_{5}}{2}}{\frac{a_{2}+a_{6}}{2}}-\dbinom{\frac{a_{1}+a_{3}}{2}}{\frac{a_{2}+a_{4}}{2}}$$=>TEX: $$\dbinom{\frac{a_{1}+a_{5}}{2}-\frac{a_{1}+a_{3}}{2}}{\frac{a_{2}+a_{6}}{2}-\frac{a_{2}+a_{4}}{2}}$$=>TEX: $$\dbinom{\frac{a_{5}-a_{3}}{2}}{\frac{a_{6}-a_{4}}{2}}$$=>TEX: $$\dfrac{1}{2}*\dbinom{a_{5}-a_{3}}{a_{6}-a_{4}}$$.

Por lo tanto TEX: $$\dfrac{1}{2}*BC=MN$$, Luego multiplicando por 2 llegamos a que : TEX: BC=2*MN que es lo que queriamos demostrar.

saludos.
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