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「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 25 2009, 06:40 PM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Asuma que $TEX: $$\sum_{n\ge1}a_n<\infty,$$$ es $TEX: $$\sum_{n\ge1}\frac{a_n}n<\infty$$$ ?

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2010, 12:44 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Dado que la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge, se tiene que $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=0$. Entonces usamos el criterio de comparacion con paso al limite (Se tiene $\lim_{n\to \infty}b_n=0$, si ocurre que $\lim_{n\to \infty}{\frac{a_n}{b_n}}=0$, entonces la serie de $a_n$ converge):$ $TEX: $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{a_n}{n}}{a_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0$$ $TEX: Por criterio de comparacion con paso al limite se tiene que la serie converge$ -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

Elias Mate Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2010, 01:17 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 95 Registrado: 31-March 09 Desde: Lo Prado, Santiago Miembro Nº: 46.674 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(OckUC @ Jan 4 2010, 01:44 AM) $TEX: Dado que la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge, se tiene que $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=0$. Entonces usamos el criterio de comparacion con paso al limite (Se tiene $\lim_{n\to \infty}b_n=0$, si ocurre que $\lim_{n\to \infty}{\frac{a_n}{b_n}}=0$, entonces la serie de $a_n$ converge):$ $TEX: $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{a_n}{n}}{a_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0$$ $TEX: Por criterio de comparacion con paso al limite se tiene que la serie converge$ $TEX: Dos cosas que parece ke te saltastes dx primero ke el criterio de comparacion al limite el siguiente limite \\ $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{a_n}{n}}{a_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0$ \\ tiene ke ser mayor ke cero y no infinito para ke converga ademas para ke se cumpla ese criterio las dos sucesiones ke nombraste \\ $a_{n}$ y $b_{n}$ \\ tienen ke ser positivas cosa ke no sale en las hipotesis del problema eso dx$ -------------------- CITA "Porque entender formulas es mas fácil que entender porque tratamos de entenderlas" Robada de un compañero de fisica dx Estudiante 2º año Licenciatura en Matematicas Facultad de Ciencias - Campus Juan Gomez Millas - Universidad de Chile Delegado de Carrera CDC (Consejo de Delegados de Ciencias) Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico. L. Euler. $TEX: \Huge$x!=\Gamma (x+1)=\int_{0}^{\infty }{t^{x}e^{-t}dt}$$ Mi Facebook dx

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2010, 05:07 AM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	En efecto, ahí sólo probaste el caso cuando la sucesión es no negativa. (El caso trivial.) Así que caíste en la trampa. Hint: la proposición es válida.

Gastón Burrull	Jan 4 2010, 07:19 PM Publicado: #5
Invitado	Veamos el otro caso, en donde la serie converge condicionalmente: $TEX: \noindent Supongamos que $S=\sum a_n=\sum (-1)^n\cdot b_n$, con $b_k=\|a_{p_k}+ a_{p_k+1}+\ldots+ a_{q_k}\|$, tal que para $k$ par se tenga que $a_j\geq 0\ \text{para}\ j\ \text{con } \ p_k\leq j\leq q_k$ y para $k$ impar se tenga que $a_j\leq 0\ \text{para}\ j\ \text{con } \ p_k\leq j\leq q_k$. Como $S$ converge condicionalmente sabemos que $\lim b_k=0$ y que $b_{k}\geq b_{k+1}$.$ $TEX: \noindent Tomemos ahora la serie $R=\sum \frac{a_n}{n}=\sum (-1)^n\cdot c_k$, notemos que:<br /><br />$$c_k=\left\|\frac{a_{p_k}}{p_k}+\frac{a_{p_k+1}}{p_k+1}+\ldots+ \frac{a_{q_k}}{q_k}\right\|,$$<br /><br />\noindent ya que si $a_j\geq 0$ entonces $\frac{a_j}{j}\geq 0$ y si $a_j\leq 0$ entonces $\frac{a_j}{j}\leq 0$. Ahora como $b_{k}\geq b_{k+1}$ no es difícil ver que $c_{k}\geq c_{k+1}$ ya que $c_{k+1}$ tiene denominadores mayores, pues $p_k<q_k<p_{k+1}<q_{k+1}$. Además, es fácil ver que $b_k\geq c_k\geq 0\ \forall k\in\mathbb{N}$, con lo que por sandwich se concluye que si $0=\lim b_k\geq \lim c_k\geq 0$. Entonces $\lim c_k=0$ y luego $R<\infty$. $_\square$$ Mensaje modificado por Gastón Burrull el Jan 4 2010, 07:38 PM

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2010, 07:29 PM Publicado: #6
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Perfectamente puede converger absolutamente. (La segunda serie.) Aún no está resuelto el problema.

Gastón Burrull	Jan 4 2010, 07:38 PM Publicado: #7
Invitado	CITA(Krizalid @ Jan 4 2010, 09:29 PM) Perfectamente puede converger absolutamente. (La segunda serie.) Aún no está resuelto el problema. Editado.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2010, 07:10 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Y que tal usando un criterio completamente analfabeto (matematicamente hablando):\\<br />$ $\\<br />Definamos $\displaystyle A_{n}=\sum_{i=1}^{n}\|a_{i}\|$ y $\displaystyle B_{n}=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\|a_{i}\|}{i}$. Es clarisimo que $B_{n}\leq A_{n}$ (por ejemplo por inducci\'on, o bien notando que cada sumando de $B_{n}$ es menor que el respectivo sumando de $A_{n}$).\\<br />Y ahora comparamos l\'imites y estar\'iamos o no?$ Mensaje modificado por Kaissa el Jan 5 2010, 07:12 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Gastón Burrull	Jan 5 2010, 08:17 PM Publicado: #9
Invitado	CITA(Kaissa @ Jan 5 2010, 09:10 PM) $TEX: $ $\\<br />Y que tal usando un criterio completamente analfabeto (matematicamente hablando):\\<br />$ $\\<br />Definamos $\displaystyle A_{n}=\sum_{i=1}^{n}\|a_{i}\|$ y $\displaystyle B_{n}=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\|a_{i}\|}{i}$. Es clarisimo que $B_{n}\leq A_{n}$ (por ejemplo por inducci\'on, o bien notando que cada sumando de $B_{n}$ es menor que el respectivo sumando de $A_{n}$).\\<br />Y ahora comparamos l\'imites y estar\'iamos o no?$ La primera serie no tiene por qué converger absolutamente, ese es el caso trivial.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2010, 03:13 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	La respuesta es afirmativa y para llegar a ella basta con aplicar un criterio que suele atribuirse a Dirichlet: si la sucesión de sumas parciales de la serie $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}$$ es acotada y $TEX: <br />$B_{n}$$ es una sucesión decreciente de reales con $TEX: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} B_{n} = 0$$ , entonces la serie $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}B_{n}$$ es convergente. En el caso que nos ocupa, hay que hacer $TEX: $\displaystyle A_{n} = a_{n}$$ y $TEX: $\displaystyle B_{n} = \frac{1}{n}$$ y sería. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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