Un teorema de Jordan, Acción transitiva Opciones

[daglnn0x0]

Sea un grupo que actúa sobre un conjunto , diremos que la acción es transitiva si esta induce una única órbita en .

Sea un conjunto finito de orden y supongamos un grupo finito actúa transitivamente sobre . Pruebe que existe tal que , donde .

En efecto, sea ; demuestre que .

Sugerencia:

Observe que los subgrupos de isotropía tienen al menos al elemento neutro en común y luego su unión tiene a lo más elementos. Luego, use el teorema órbita-estabilizador.

Por si la terminología:

Con subgrupo de isotropía de un elemento x en Y me refiero al conjunto y con el teorema "órbita-estabilizador" quiero decir que el cardinal de la órbita de x en Y es igual a .

Suerte ; )

[coquitao]

Más que la terminología, mi problema fue la notación, hombre. El (símbolo) para hablar del estabilizador del elemento x, nunca fue mucho de mi agrado. Pero en fin, aquí tienes mi solución:

Prueba. Dado que la acción es transitiva el teorema órbita-estabilizador nos permite asegurar que

|Stab(x)| = |G| / |Órbita(x)| = |G| / n

para cada . Por otro lado, al tenerse que no es otra cosa que la diferencia



se sigue que



y la prueba termina.

QED.

[daglnn0x0]

Bien. También es directo (aunque menos ingenioso) del teorema de Frobenius*, esto es, si r es el número de órbitas de la acción en Y, entonces
.
En efecto, si r=1 (i.e. la acción es transitiva)
donde a es un entero mayor o igual que 1 y e el neutro en G.

* No estoy seguro si este teorema es de Frobenius o de Burnside, si alguien sabe, avise por favor.
Saludos

[coquitao]

* No estoy seguro si este teorema es de Frobenius o de Burnside, si alguien sabe, avise por favor.
Saludos

- Muchos autores suelen llamarle lema de Burnside, aunque recuerdo haber leído (en un pie de página del Rotman) que la designación no era del todo exacta y que el mismo Burnside en su libro de grupos se lo atribuyó a Frobenius. Por otro lado, conozco al menos un libro donde en vez de citar al resultado como lema de Burnside ponen el lema que no es de Burnside.

- En lo que respecta a tu solución me queda una duda que no logro despejar a bote pronto: ¿cómo justificas que todos los elementos de G distintos del neutro fijan la misma cantidad, a, de elementos de Y? Eso es lo que estás empleando por ahí, ¿qué no?

[daglnn0x0]

Para los elementos en es mientras que para aquellos elementos distintos del neutro que no están en (y tenemos de ellos) es . En principio, no debería haber usado la misma cantidad "a" para todos estos elementos, pero al fin y al cabo es casi lo mismo: no importa si el valor de a es el mismo o distinto para estos elementos, sólo importa el que sea mayor o igual que 1.
Enfin, podríamos evitar esto haciendo

[coquitao]

En principio, no debería haber usado la misma cantidad "a" para todos estos elementos, pero al fin y al cabo es casi lo mismo: no importa si el valor de a es el mismo o distinto para estos elementos, sólo importa el que sea mayor o igual que 1.
En fin, podríamos evitar esto haciendo

Casi lo mismo. Sin embargo, lo que habías puesto antes se veía más díficil de obtener que el propuesto en sí. Ahora no quedan dudas con respecto a tu solución.

Saludos.