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[Álgebra] Factorización, [Resuelto]

Julio_fmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2009, 07:21 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4.874 Registrado: 19-January 07 Desde: Mathematics!! Miembro Nº: 3.830 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Factorizar $a^3+b^3+c^3-3abc$.\\$ $TEX: \noindent \textsf{\underline{Comentario:}} Me complica que algunos de los coeficientes estén elevados al cubo, es que no se me ocurre otra forma de encontrar la factorización, lo que yo había hecho fue lo siguiente:\\<br />\begin{center}<br />$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3-3abc$\\<br />\end{center}<br />\ \\<br />Y también lo había intentado así:\\<br />\begin{eqnarray}<br />a^3+b^3+c^3-3abc&=&a^3-abc+b^3-abc+c^3-abc\\<br />&=&a(a^2-bc)+b(b^2-ac)+c(c^2-ab)\\<br />&=&a(a+\sqrt{bc})(a-\sqrt{bc})+b(b+\sqrt{ac})(b-\sqrt{ac})+c(c+\sqrt{ab})(c-\sqrt{ab})\\<br />\end{eqnarray}<br />Pero lógicamente se debe llegar a un producto de factores y no a una suma.\\<br />$ Mensaje modificado por Julio_fmat el Dec 22 2009, 10:04 AM -------------------- "... Lo veo, pero no puedo creerlo ... se trata de mostrar que las superficies, los volúmenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia unívoca con curvas continuas, o sea, con variedades de una sola dimensión, y que por consiguiente, las superficies, los volúmenes y las variedades de n dimensiones tienen también la misma potencia que las curvas ..." G. Cantor. Las Matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, todo lo que nos rodea se puede representar y entender mediante números. Si se hace un gráfico con los números de un sistema, se forman modelos; éstos modelos están por todas partes en la naturaleza. Max Cohen. $TEX: $$\Phi=\displaystyle \int \limits_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\lim_{n\to +\infty}P\left(\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i-n\mu}{n\sigma}\le x\right).$$$ Licenciado en Matemática (2021). Universidad de Concepción, Chile.

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2009, 08:21 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Hint: $TEX: ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc={{(a+b)}^{3}}+{{c}^{3}}-3ab(a+b)-3abc.$$

xdanielx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2009, 09:21 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 3.360 Registrado: 11-March 08 Miembro Nº: 16.617	esta factorizacion me trae bellos recuerdos, es del tipo $TEX: $$<br />\left( {a + b + c} \right)\left( {a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc} \right)<br />$$$ o tambien $TEX: $$<br />\frac{1}<br />{2}\left( {a + b + c} \right)\left( {\left( {a - b} \right)^2 + \left( {a - c} \right)^2 + \left( {b - c} \right)^2 } \right)<br />$$$

_Ricardo_ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 20 2009, 08:31 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.345 Registrado: 27-June 08 Miembro Nº: 28.447 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = \hfill \\<br /> (a + b)^3 - 3a^2 b - 3ab^2 + c^3 - 3abc = \hfill \\<br /> (a + b)^3 + c^3 {\text{ - 3ab(a + b + c) = }} \hfill \\<br /> {\text{(a + b + c)(}}a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 ) - {\text{3ab(a + b + c)}} = \hfill \\<br /> {\text{(a + b + c)(}}a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab) \hfill \\<br /> \boxed{{\text{(a + b + c)(}}a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ --------------------

Julio_fmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 22 2009, 10:10 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4.874 Registrado: 19-January 07 Desde: Mathematics!! Miembro Nº: 3.830 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muchas gracias, me quedó claro el asunto, había que sumar un $TEX: $0$$ conveniente, en nuestro caso, al tener $TEX: $a^3+b^3$$ se puede armar un cubo del binomio, sumando $TEX: $3a^2b-3a^2b$$ y $TEX: $3ab^2-3ab^2,$$ luego de eso ya es todo más fácil, ya que es sólo notar el factor común $TEX: $(a+b+c).$$ Saludos. -------------------- "... Lo veo, pero no puedo creerlo ... se trata de mostrar que las superficies, los volúmenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia unívoca con curvas continuas, o sea, con variedades de una sola dimensión, y que por consiguiente, las superficies, los volúmenes y las variedades de n dimensiones tienen también la misma potencia que las curvas ..." G. Cantor. Las Matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, todo lo que nos rodea se puede representar y entender mediante números. Si se hace un gráfico con los números de un sistema, se forman modelos; éstos modelos están por todas partes en la naturaleza. Max Cohen. $TEX: $$\Phi=\displaystyle \int \limits_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\lim_{n\to +\infty}P\left(\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i-n\mu}{n\sigma}\le x\right).$$$ Licenciado en Matemática (2021). Universidad de Concepción, Chile.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 22 2009, 11:14 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: <br />$ $\\<br />Otra forma simp\'atica de verlo es asi:\\<br />$\bullet$ Construimos una ecuaci\'on c\'ubica con soluciones $a$, $b$ y $c$ mediante las relaciones de Cardano Vieta:<br />\begin{eqnarray}<br />x^{3}-(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x-abc=0<br />\end{eqnarray}<br />$\bullet$ Sustituimos sucesivamente $x$ por las respectivas soluciones para obtener las tres relaciones<br />\begin{eqnarray}<br />a^{3}-(a+b+c)a^{2}+(ab+bc+ca)a-abc=0\\<br />b^{3}-(a+b+c)b^{2}+(ab+bc+ca)b-abc=0\\<br />c^{3}-(a+b+c)c^{2}+(ab+bc+ca)c-abc=0<br />\end{eqnarray}<br />$\bullet$ Sumamos verticalmente y obtenemos<br />\begin{eqnarray}<br />a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(ab+bc+ca)(a+b+c)-3abc=0\Longrightarrow\\<br />a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=\\<br />=\dfrac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2})<br />\end{eqnarray}<br />$ Mensaje modificado por Kaissa el Dec 22 2009, 11:19 AM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

xdanielx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 22 2009, 11:20 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 3.360 Registrado: 11-March 08 Miembro Nº: 16.617	que linda forma de verlo

Julio_fmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2009, 10:08 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4.874 Registrado: 19-January 07 Desde: Mathematics!! Miembro Nº: 3.830 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Gracias por la otra forma de ver la factorización (la tendré presente), , pero me conformo con $TEX: $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac),$$ es más rápido. Quiero agregar otra cosa, la factorización de $TEX: $a^3+b^3+c^3-3abc,$$ en cualquiera de sus 2 formas es conocida también como "Identidad de Gauss". Slds. -------------------- "... Lo veo, pero no puedo creerlo ... se trata de mostrar que las superficies, los volúmenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia unívoca con curvas continuas, o sea, con variedades de una sola dimensión, y que por consiguiente, las superficies, los volúmenes y las variedades de n dimensiones tienen también la misma potencia que las curvas ..." G. Cantor. Las Matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, todo lo que nos rodea se puede representar y entender mediante números. Si se hace un gráfico con los números de un sistema, se forman modelos; éstos modelos están por todas partes en la naturaleza. Max Cohen. $TEX: $$\Phi=\displaystyle \int \limits_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\lim_{n\to +\infty}P\left(\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i-n\mu}{n\sigma}\le x\right).$$$ Licenciado en Matemática (2021). Universidad de Concepción, Chile.

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