Semana del 25 al 31 de Agosto Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Comenzamos la lista de problemas para esta semana... no es complicado pero requiere cierto conocimiento...

Problema 1:

1. Encuentre el máximo común divisor de todos los números de la forma , cuando recorre todo el conjunto (el caso no crea inconvenientes, porque todos los números son divisores de 0)
2. Pruebe que es múltiplo de 2058 no es múltiplo de 7

El siguiente problema es una clásica variante de un teorema debido a Euclides

Problema 2: Pruebe que existen infinitos números primos de la forma

Problema 3: Encuentre tales que . Notemos que se pide apenas una solución para la ecuación. A cambio de eso, debe describir el procedimiento que usó para obtenerla (o sea aquí no cuentan las soluciones obtenidas por suerte)

Para el siguiente problema pido dos procedimientos distintos... uno de ellos debe ser elegante

Problema 4: Para todo , determine si es posible dibujar rectas en el plano, tales que no hayan tres concurrentes ni dos paralelas.

[Rurouni Kenshin]

Problema 5:

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img249.imageshack.us/img249/221/geo11pk.png');}" />

Saludos...
Este problema se me planteo en mi enseñanza media y ahora me lo pille por ahi y lo quise plantear a ver que tal les va a ustedes....

[NeME]

Para este problema pido dos procedimientos distintos... uno de ellos debe ser elegante

Problema 4: Para todo n>0 entero, determine si es posible dibujar n rectas en el plano, tales que no hayan tres concurrentes ni dos paralelas.

Tengo un procedimiento (toy pensando en el otro):

Dibujar una semicircunferencia y trazar todas las rectas tangentes a ella y eliminamos una recta de un extremo, el numero de tangentes que tenemos es infinito, por tanto es posible dibujar n rectas en el plano tal que no hay 3 concurrentes ni 2 paralelas.

No será muy elegante, pero igual es un procedimiento.

NeME

[S. E. Puelma Moy...]

La idea está excelente, para resolver el problema 4, sin embargo, es necesario que expliques mejor por qué se cumplen las condiciones que hemos exigido.

Publica otro mensaje, en el cual des todo a entender con claridad

[NeME]

La idea está excelente, para resolver el problema 4, sin embargo, es necesario que expliques mejor por qué se cumplen las condiciones que hemos exigido.

Publica otro mensaje, en el cual des todo a entender con claridad 

Veamos.

Primero.
Dos rectas son paralelas entre sí y tangentes a una circunferencia si y solo si la union de los puntos de tangencia forman un diametro de dicha cirunferencia. Esto se cumple para todos los puntos de la circunferencia.
Entonces si tomamos una recta de esas rectas, siempre encontraremos otra recta paralela diametralmente opuesta a esta.
Esto lo podemos ver mediante un dibujo:


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://www.jotapeges.com/v5.1/out.php/i37663_circunfparal.PNG');}" />


Por tanto si tomamos la semicircunferencia tendremos que no existirán dos rectas paralelas, exceptuando un caso: en los extremos de la semicircunferencia pasara dos rectas tangentes a dicha semicircunferencia que serán paralelas, porque los extremos forman un diametro. Entonces debemos eliminar una de estas rectas.
Por tanto es posible dibujar n rectas en el plano, tales que no hayan dos paralelas.


Segundo.
Desde un punto exterior a una circunferencia se pueden trazar dos rectas que son tangentes a dicha circunferencia. De esto concluimos que desde un punto exterior a una semicircunferencia se pueden trazar a lo más 2 rectas que son tangentes a dicha semicircunferencia. Entonces si tomamos un punto del plano pasarán a lo más 2 de las n rectas por la semicircunferencia. Por tanto es posible dibujar n rectas en el plano, tales que no hayan tres concurrentes.

■

Eso.

NeME

PS1: ¿Esto es elegancia?
PS2: ¿Qué pasó con los problemas 6 y 7?

[S. E. Puelma Moy...]

Sin duda, esta es la solución elegante, y está correcta. O sea basta con trazar n tangentes a una circunferencia (lo que garantiza que no hayan tres rectas concurrentes), mientras no sean paralelas dos de estas tangentes.

Ahora bien, existe otra forma de solucionar este problema... a ver si a alguien se le ocurre... pronto daré alguna pista para intuir esta nueva solución.

[erikk]

Problema 3: Encuentre una solución (x, y, z, t) en los enteros positivos, para la ecuación x^7+y^8+z^9=t^10. Describa el procedimiento que usó para obtener la solución (o sea aquí no cuentan las soluciones obtenidas por suerte)

Veamos primero la ecuacion mas simple x^3 + y^4 = z^5, podemos empezar 1^3 + 2^4 = 17 (que no es una potencia de 5) si multiplicamos ambos lados por 17^4 tenemos del lado derecho la potencia de 5, pero arruinamos el izquierdo.

Supongamos ahora que multiplicamos por 17^k, si k es multiplo de 3 y de 4 (los exponentes del lado izquierdo) entonces no vamos a tener problemas del lado izquierdo, por ejemplo si k = 12, entonces (1^3 + 2^4).17^12 = (17^4)^3 + (2.17^3)^4 = 17^13 se nos desajusto el lado derecho. pero vimos que podemos tomar para k cualquier multiplo de 6 entonces buscamos un k = 12l tal que k + 1 sea multiplo de 5, que nos da k = 24.

[S. E. Puelma Moy...]

La idea está bastante buena, ahora bien, no resuelves aún el problema que planteé inicialmente. El consuelo está en que la solución es una idea más o menos del mismo tipo

Mucho ánimo para seguir intentando

[Luffy]

Problema 2: Pruebe que existen infinitos números primos de la forma

Suponga que existen finitos primos de la forma , luego sean dichos primos. Luego el número es mayor que , pero además, ningún primo menor que dicho número lo divide. Por lo tanto es un primo de la forma mayor que .

Existen infinitos primos de la forma

[Luffy]

Comenzamos la lista de problemas para esta semana... no es complicado pero requiere cierto conocimiento...

Problema 1:
A)Encuentre el máximo común divisor de todos los números de la forma , cuando recorre todo el conjunto (el caso no crea inconvenientes, porque todos los números son divisores de 0)
B)Pruebe que es múltiplo de 2058 no es múltiplo de 7

Luego para :



Para :



Luego, tenemos que el máximo común divisor puede ser a lo mas el:



De ser cierto:



lo que no se cumple para



luego:



lo que no se cumple para



Luego para los primos 2, 3, 5, 7, 13. Si restamos 1 a cada número nos quedan 1, 2, 4, 6, 12; donde todos son divisores del 12. Aplicando el Teorema de Fermat, y elevando la congruencia a la potencia necesaria para obtener , luego multiplicando por , obtenemos que:



Finalmente el máximo común divisor es:

no es múltiplo de



Si no es múltiplo de















Pero:







Y ademas:











Finalmente:

Saludos