 formula explicita |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Álgebra > Progresiones: Aritmética y Geométrica  |
 Dec 1 2009, 02:54 PM
Publicado:
#1
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Maestro Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 73 Registrado: 23-November 08 Desde: Viña Miembro Nº: 39.301 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
tengo una duda con esto:
encontrar la formula explicita para  dado que "q" pertenece a ]-1,1[, se defince la sucesion recurrente como  y  = he tratado de buscar una formula para los impares , pero , no he llegado a nada bueno:  -n - (n-1)q
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Dec 3 2009, 12:04 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 874 Registrado: 18-October 07 Desde: The Matrix... Miembro Nº: 11.478 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
CITA(matias822 @ Dec 1 2009, 04:54 PM)  tengo una duda con esto: encontrar la formula explicita para dado que "q" pertenece a ]-1,1[, se defince la sucesion recurrente como y =he tratado de buscar una formula para los impares , pero , no he llegado a nada bueno: -n - (n-1)qSi vamos calculando cada término, veremos lo siguiente: ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> a_1 = q \hfill \\<br /> a_2 = q^2 + 1 \hfill \\<br /> a_3 = q^3 + q + 1 \hfill \\<br /> a_4 = q^4 + q^2 + q + 1 \hfill \\<br /> a_5 = q^5 + q^3 + q^2 + q + 1 \hfill \\<br /> a_6 = q^6 + q^4 + q^3 + q^2 + q + 1 \hfill \\<br /> \vdots \hfill \\<br /> a_n = q^n + q^{n - 2} + q^{n - 3} + \ldots + q + 1 = \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {q^i } } \right) - q^{n - 1} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/c9916142ee8fbd000de18302f00721ee.png) es decir, siempre se tiene un polinomio de grado n, con coeficientes unitarios, donde falta el término de grado n-1. La expresión anterior la podemos "explicitar" simplemente calculando el valor de la sumatoria, que corresponde a una PG de primer término 1 y razón q: ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \sum\limits_{i = 0}^n {q^i } = S = 1 + q + q^2 + q^3 + \ldots + q^{n - 1} + q^n / \cdot q \hfill \\<br /> qS = q + q^2 + q^3 + q^4 + \ldots + q^n + q^{n + 1} \hfill \\<br /> \therefore S\left( {q - 1} \right) = q^{n + 1} - 1 \Rightarrow S = \frac{{q^{n + 1} - 1}}<br />{{q - 1}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/b51a3f13e47956f48597536f4d9edce5.png) de donde, finalmente, ![TEX: \[<br />a_n = S - q^{n - 1} = \frac{{q^{n + 1} - 1}}<br />{{q - 1}} - q^{n - 1} = \frac{{q^{n + 1} - q^n + q^{n - 1} - 1}}<br />{{q - 1}} = \frac{{1 - q^{n - 1} + q^n - q^{n + 1} }}<br />{{1 - q}}<br />\]](./tex/547744ea27ba2876846bb7e82a24cafb.png)
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