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Funciones Armónicas

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2009, 01:41 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $f:U\subseteq \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$, donde $U$ es un abierto, y $\Omega \subset U$ una región de las típicas del Teorema de la Divergencia.\\<br />\\<br />Suponga que $f$ se anula en $\partial \Omega$ y que además es \emph{armónica}, es decir, satisface la ecuación de Laplace:<br />\[\triangle f = \nabla^2 f =0.\]<br />Demuestre que $f$ es la función nula en $\Omega$.<br />$ Hint: Green tenía mucho tiempo. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

aleph_omega Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 25 2009, 07:08 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 560 Registrado: 24-December 09 Miembro Nº: 64.629	CITA(Abu-Khalil @ Nov 24 2009, 02:41 PM) $TEX: \noindent Sea $f:U\subseteq \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$, donde $U$ es un abierto, y $\Omega \subset U$ una región de las típicas del Teorema de la Divergencia.\\<br />\\<br />Suponga que $f$ se anula en $\partial \Omega$ y que además es \emph{armónica}, es decir, satisface la ecuación de Laplace:<br />\[\triangle f = \nabla^2 f =0.\]<br />Demuestre que $f$ es la función nula en $\Omega$.<br />$ Hint: Green tenía mucho tiempo. Vemos al problema como un problema de neumann. Sea $TEX: $v\in H_0^1(\Omega)$$ . Multiplicamos la condición de laplace por $TEX: $v$$ y luego integramos sobre $TEX: $\Omega$$ : $TEX: $\int_{\Omega}v\Delta f =0$$ Usando la primera identidad de green se obtiene $TEX: $-\int_{\Omega}\nabla f\cdot \nabla v+\int_{\partial\Omega}\dfrac{\partial f}{\partial \nu}\cdot v=0$$ Pero como se anula en la frontera nos queda que $TEX: <br /> $\int_{\Omega}\nabla f\cdot \nabla v=0$$ para todo $TEX: $v\in H_0^1(\Omega)$$ , es decir, se tiene que $TEX: $f$$ es constante en $TEX: $\Omega$$ pues el integrando se anula en casi todo punto ( y bla bla bla) No se como seguir para que sea nula pero es un avance Mensaje modificado por aleph_omega el Dec 25 2009, 07:15 PM

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 25 2009, 10:11 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No me manejo con Neumann (EDP?). Pero de lo que logré entender, la idea va por ahí ! -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

aleph_omega Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 25 2009, 10:36 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 560 Registrado: 24-December 09 Miembro Nº: 64.629	El problema de neumman es un problema de valores de contorno de la forma $TEX: $-\Delta f=g$$ en $TEX: $\Omega$$ con la condicion de frontera $TEX: $f\|_{\partial \Omega}=h$$ Cuando $TEX: $h=0$$ el problema es el problema homogeneo. Asocié tu problema como un problema de neumann homogeneo con $TEX: $g=0$$ y aplique la formulación variacional al problema de neumann donde ahi se involucran las identidades de green. pd: El problema de Neumann deberia verse en cualquier curso básico de ecuaciones en derivadas parciales. Lo de las formulaciones variaciones ya es análisis funcional ( involucre el espacio de sobolev $TEX: $H_0^1$$ que son las funciones en $TEX: $ L^2$$ tales que su derivada debil vive en $TEX: $L^2$$ y ademas se anulan en la frontera). Mensaje modificado por aleph_omega el Dec 25 2009, 10:42 PM

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2010, 11:53 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br />\indent Como f es armonica , entonces es $\mathcal C^2(\Omega)$\\<br />ademas $\Omega$ cumple con las condiciones de la divergencia\\ <br />por lo tanto podemos aplicar la formula integral de green en $\Omega$\\<br />$$\iiint\limits_{\Omega}f \Delta f dV=\iint\limits_{\partial \Omega}f \frac{\partial f}{\partial \vec n}dA-\iiint\limits_{\Omega}\|\vec \nabla f\|^2dV$$<br />como $f$ es armonica,la primera integral es 0\\<br />lo mismo para la segunda porque f se anula en la frontera<br />$$\iiint\limits_{\Omega}\|\vec \nabla f\|^2dV=0$$<br />pero como el integrando es positivo y continuo\\<br />esto implica que<br />$$\vec \nabla f(x)=0\Rightarrow f(x)=C$$<br />en $\Omega$\\<br />evaluando en la frontera obtenemos que<br />$$f(x)=0 \ \ \forall x\in \Omega$$<br />$\mathcal{QED}$<br />$ Mensaje modificado por nmg1302 el Oct 4 2010, 02:06 PM

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2011, 02:59 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien! -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

aleph_omega Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2011, 03:46 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 560 Registrado: 24-December 09 Miembro Nº: 64.629	Por el principio del maximo y minimo para funciones armónicas sale en un paso!

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