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> Multiplos, trios pitagoricos
Polanco
mensaje Nov 22 2006, 07:47 PM
Publicado: #1


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TEX: ¿Cuantas soluciones tiene la siguiente ecuacion con $a$ y $b$ enteros positivos?

TEX: $a^2+(3\times 2^{5000})^2=b^2$

Mensaje modificado por Polanco el Nov 22 2006, 07:49 PM
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The Lord
mensaje Nov 23 2006, 03:52 PM
Publicado: #2


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CITA(Polanco @ Nov 22 2006, 08:47 PM)
TEX: ¿Cuantas soluciones tiene la siguiente ecuacion con $a$ y $b$ enteros positivos?

TEX: $a^2+(3\times 2^{5000})^2=b^2$
*


Voy a tratar de hacerlo...

TEX: $a^2+(3\times 2^{5000})^2=b^2$
Se muestra que es un trio pitagorico TEX: $(a,3\times 2^{5000},b)$
Como fue demostrado en: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=381

Se puede denotar a TEX: $3\times 2^{5000}=2mn$ , Siendo TEX: $m>n$

Entonces:
TEX: $3\times 2^{4999}=mn$
Recordemos que TEX: m y TEX: n son coprimos (fue demostrado en el link)
Entonces hay dos posibilidades:
I)
TEX: $2^{4999}=m$
TEX: $3=n$

Recordemos por lo que esta en el link:
TEX: $a=m^2-n^2$
TEX: $b=m^2+n^2$
Reemplazando:
TEX: $a=2^{9998}-9$
TEX: $b=2^{9998}+9$
Finalmente este trio pitagorico es:
TEX: $(2^{9998}-9 , 3\times 2^{4999} , 2^{9998}+9)$

II)
TEX: $3\times 2^{4999}=m$
TEX: $1=n$
Tambien:
TEX: $a=m^2-n^2$
TEX: $b=m^2+n^2$
Entonces:
TEX: $a=9\times 2^{9998}-1$
TEX: $b=9\times 2^{9998}+1$
El trio pitagorico es:
TEX: $(9\times 2^{9998}-1,3\times 2^{4999},9\times 2^{9998}+1)$

Ahora hemos acabado de encontrar los dos trios pitagoricos Primitivos, Nos queda encontrar, todos los que no son primitivos, pero q cumplen con la condicion. Esto quiere decir que voy a buscar los trios de la forma TEX: $(mx,my,mz)$

Primero que nada, date un ejemplo de esto:

TEX: $m=3,n=1$
se formaria la siguiente ecuacion:
TEX: $8^2+(2*3)^2=10^2$
Notemos que se debe multiplicar la ecuacion por: TEX: $2^{9998}$
Multiplicando:
TEX: $8^2(2^{9998})+(2*3)^2(2^{9998})=10^2(2^{9998})$
TEX: $(8*2^{4449})^2+(2^{5000}*3)^2=¨(10*2^{4999})^2$
El trio en este caso es:
TEX: $(8*2^{4449},2^{5000}*3,10*2^{4999})$


De forma general:
TEX: $mn=3*2^k$, Siendo TEX: 4999$\ge$TEX: k$\ge$1
Entonces hay dos formas de organizarlo:
I)
TEX: $m=2^k$
TEX: $n=3$
Entonces:
TEX: $(2^{2k}-9)^2+(3*2^{k+1})^2=(2^{2k}+9)^2$
Se debe multiplicar por TEX: $2^{2(5000-(k+1))}$ osea TEX: $2^{2(4999-k)}$
Entonces quedaria:
TEX: $(2^{k+4999}-9*2^{4999-k})^2+(3*2^{5000})^2=(2^{k+4999}+9*2^{4999-k})^2$

II)
TEX: $m=2^k*3$
TEX: $n=1$
Entonces:
TEX: $(2^{2k}*9-1)^2+(3*2^{k+1})^2=(2^{2k}*9+1)^2$
Aqui tambien se debe multiplicar por TEX: $2^{2(4999-k)}$
Quedando:
TEX: $(9*2^{k+4999}-2^{4999-k})^2+(3*2^{5000})^2=(9*2^{k+4999}+2^{4999-k})^2$

Lo importante de esto ultimo no son las grandes expresiones que aparecieron, si no notar que TEX: I) $\not=$II) , Por lo que por cada par de numeros m,n va a haber 2 posibles resultados.

Notemos que Cuando TEX: $k=0$ , Hay solo una solucion.
Que es TEX: $m=3$, TEX: $n=1$ Que es:
TEX: $(8*2^{4449},2^{5000}*3,10*2^{4999})$

Ahora la pregunta que queda es ¿cuantos valores puede tomar k, talque TEX: 4999$\ge$TEX: k$\ge$1?
Veamos un ejemplo mas pequeño:
TEX: $5 \ge x \ge 1$ Se nota que puede tomar 5 valores.De forma generla es: TEX: $y \ge x \ge z$ x puede tomar: y-z+1 valores.

Entonces si k esta en el intervalo TEX: 4999$\ge$TEX: k$\ge$1, Puede tomar 4999 valores.

Como por cada valor de k, hay 2 posibles trios:
Hay 9998 valores.
Ahora sumemos cuando TEX: $k=0$ y Quedan 9999 trios pitagoricos que cumplen la condicion. Son 9999 pares a,b que cumplen la condicion.


Saludos
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Polanco
mensaje Nov 24 2006, 08:41 PM
Publicado: #3


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Respuesta incorrecta.
Por ejemplo un trio pitagorico que no contaste fue el:
TEX: $(3*2^{5000}-3*2^{4998})^2+(3*2^{5000})^2=(3*2^{5000}+3*2^{4998})^2$
Otro error es que repetiste los primitivos ya que en la formula general los repites utilizando k=4999

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The Lord
mensaje Nov 26 2006, 03:39 PM
Publicado: #4


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TEX: \[<br />\begin{gathered}<br />  {\text{Uuuu}}...{\text{ Ese ejemplo que se posteo se puede resumir a este trio pitagorico:}} \hfill \\<br />  \left( {{\text{3}}{\text{,2}}^{\text{2}} ,5} \right){\text{. Ahora siguiendo un poco la idea de el post anterior (El que postee antes)}}{\text{, Vamos a buscar los trios de la forma:}} \hfill \\<br />  {\text{(x}}{\text{,2}}^{{\text{k + 1}}} ,y){\text{ Es to ultimo porq obteniendo estos trios se puede amplificar la ecuacion por lo que falta (en este caso se debe multiplicar siempre por 3}}^{\text{2}} {\text{ para que entre en el cuadrado):}} \hfill \\<br />  {\text{Notemos que 4999}} \geqslant {\text{k}} \geqslant 1{\text{ (se puede demostrar facilmente)}} \hfill \\<br />  {\text{Ahora notemos por el metodo ocupado antes:}} \hfill \\<br />  {\text{2}}^{{\text{k + 1}}}  = 2mn \hfill \\<br />  2^k  = mn{\text{ }} \Rightarrow {\text{m = 2}}^{\text{k}} {\text{ ; n = 1}} \hfill \\<br />  {\text{Notemos que los trios que se forman son los siguientes:}} \hfill \\<br />  {\text{(2}}^{{\text{2k}}}  - 1,2^{k + 1} ,2^{2k}  + 1) \hfill \\<br />  {\text{Notemos que ahora solo falta multiplicar por 3}}^{\text{2}} {\text{ y listo}}{\text{, Quedando asi:}} \hfill \\<br />  {\text{(3}}*{\text{2}}^{{\text{4999+k}}}  - 3,3*2^{5000} ,3*2^{4999+k}  + 3) \hfill \\<br />  {\text{Ahora notemos que Se forman 4999 trios pitagoricos}}{\text{.}} \hfill \\<br />\end{gathered} <br />\]

Ahora sumemos estos con los que teniamos antes:
TEX: $9999+4999=14998$

Finalmente son 14998 posibles pares a,b


Saludos
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Polanco
mensaje Nov 26 2006, 04:04 PM
Publicado: #5


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CITA(The Lord @ Nov 26 2006, 05:39 PM)
TEX: \[<br />\begin{gathered}<br />  {\text{Uuuu}}...{\text{ Ese ejemplo que se posteo se puede resumir a este trio pitagorico:}} \hfill \\<br />  \left( {{\text{3}}{\text{,2}}^{\text{2}} ,5} \right){\text{. Ahora siguiendo un poco la idea de el post anterior (El que postee antes)}}{\text{, Vamos a buscar los trios de la forma:}} \hfill \\<br />  {\text{(x}}{\text{,2}}^{{\text{k + 1}}} ,y){\text{ Es to ultimo porq obteniendo estos trios se puede amplificar la ecuacion por lo que falta (en este caso se debe multiplicar siempre por 3}}^{\text{2}} {\text{ para que entre en el cuadrado):}} \hfill \\<br />  {\text{Notemos que 4999}} \geqslant {\text{k}} \geqslant 1{\text{ (se puede demostrar facilmente)}} \hfill \\<br />  {\text{Ahora notemos por el metodo ocupado antes:}} \hfill \\<br />  {\text{2}}^{{\text{k + 1}}}  = 2mn \hfill \\<br />  2^k  = mn{\text{ }} \Rightarrow {\text{m = 2}}^{\text{k}} {\text{ ; n = 1}} \hfill \\<br />  {\text{Notemos que los trios que se forman son los siguientes:}} \hfill \\<br />  {\text{(2}}^{{\text{2k}}}  - 1,2^{k + 1} ,2^{2k}  + 1) \hfill \\<br />  {\text{Notemos que ahora solo falta multiplicar por 3}}^{\text{2}} {\text{ y listo}}{\text{, Quedando asi:}} \hfill \\<br />  {\text{(3}}*{\text{2}}^{{\text{2k}}}  - 3,3*2^{k + 1} ,3*2^{2k}  + 3) \hfill \\<br />  {\text{Ahora notemos que Se forman 4999 trios pitagoricos}}{\text{.}} \hfill \\<br />\end{gathered} <br />\]

Ahora sumemos estos con los que teniamos antes:
TEX: $9999+4999=14998$

Finalmente son 14998 posibles pares a,b
Saludos
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*

La respueta es 14998, el desarrollo es muy enrredado,no se entiende mucho, ESTO ES NIVEL BASICO, no es complicado el ejercicio, pediria que no lo envien a resueltos(esa es decicion de de los moderadores) hasta que alguien lo responda como se debe.
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