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Control 3 Álgebra lineal 2009/2, Valores y vectores propios, ortogonalidad y formas cuadráticas

Krebante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 21 2009, 12:09 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Control 3 P1. Considere la matriz $TEX: $A \in \mathcal{M}_{44}(\mathbb{R})$$ definida por $TEX: $A = \begin{pmatrix}<br /> 3 & -1 & -1 & -1 \\<br /> -1 & 3 & -1 & -1 \\<br /> -1 & -1 & 3 & -1 \\<br /> -1 & -1 & -1 & 3<br />\end{pmatrix}$$ (i) Verifique que $TEX: $v = \begin{pmatrix}<br /> 1 \\<br /> 1 \\<br /> 1 \\<br /> 1<br />\end{pmatrix}$$ es vector propio de $TEX: $A$$ y calcule su valor propio asociado. (ii) Si se sabe que $TEX: $\lambda = 4$$ es valor propio de $TEX: $A$$ , encuentre una base ortonormal de vectores propios de $TEX: $A$$ . (iii) Encuente el polinomio característico de $TEX: $A$$ . P2. Sea $TEX: $\alpha \in \mathbb{R}$$ y considere la ecuación: $TEX: $(\alpha + 2)x^2 + (\alpha + 2)y^2 + 2\alpha x y = 1$$ . Determine, cuando existan, los valores del parámetro $TEX: $\alpha$$ para los cuales la ecuación representa: circunferencia, parábola, elipse, hipérbola, recta o rectas, un punto, conjunto vacío. Señale explícitamente qué cónicas o conjuntos de los indicados no pueden ser representados por la ecuación dada para ningún valor de $TEX: $\alpha \in \mathbb{R}$$ . P3. a) Completar los elementos faltantes de la matriz $TEX: $A \in \mathcal{M}_{22}(\mathbb{R})$$ dada por $TEX: $A = \begin{pmatrix}<br /> 2 & 6 \\<br /> - & - <br />\end{pmatrix}$$ de modo que admita a $TEX: $v_1 = \begin{pmatrix}<br /> 3 \\<br /> 1 <br />\end{pmatrix}$$ y a $TEX: $v_2 = \begin{pmatrix}<br /> 2 \\<br /> 1 <br />\end{pmatrix}$$ como vectores propios. b) Encuentre una matriz $TEX: $B \in \mathcal{M}_{22}(\mathbb{R})$$ con los mismos vectores propios $TEX: $v_1$$ y $TEX: $v_2$$ del punto a) y valores propios $TEX: $\lambda_1 = 1$$ asociado a $TEX: $v_1$$ y $TEX: $\lambda_2 = 0$$ asociado a $TEX: $v_2$$ . Calcule, además, $TEX: $B^{10}$$ . 21 de noviembre de 2009 Sin consultas Tiempo: 3:00 Mensaje modificado por Krebante el Nov 21 2009, 12:10 PM -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!

despinoza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 21 2009, 01:04 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 17 Registrado: 6-July 09 Miembro Nº: 55.240 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Estaba fácil el control, pura mano. Me equivoqué es estupideces, como no darme cuenta que la 'elipse' que me quedaba con semi ejes iguales era una circunferencia en la P2. O anotar 3 de los cuatro vectores que calculé en la P1, pero espero que no bajen mucho por eso y me pueda eximir, si al final son detalles. Saludos!

Felipe.Costa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 08:10 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 89 Registrado: 1-September 07 Desde: Las Condes, Stgo. Miembro Nº: 9.690 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Prueba ideal para subirme el promedio, genial. --------------------

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 08:17 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Considere la maaaaatriiiiiiz A perteneciente a las matrices cuadradas de 4x4 en R dedefinida por... (talla interna XD) -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

danielomalmsteen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 08:18 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(felper @ Nov 22 2009, 09:17 PM) Considere la maaaaatriiiiiiz A perteneciente a las matrices cuadradas de 4x4 en R dedefinida por... (talla interna XD) xDDDDDDDDDDDDD ajajajajja Math-Andino xD --------------------

Felipe.Costa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 08:27 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 89 Registrado: 1-September 07 Desde: Las Condes, Stgo. Miembro Nº: 9.690 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Quiero saber esta nota ahoraaa --------------------

Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 08:56 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P3) a) $TEX: $\\ \left[ \begin {array}{cc} 2&6\\\noalign{\medskip}x&y\end {array} \right]\left[ \begin {array}{c} 3\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right] = 4\left[ \begin {array}{c} 3\\\noalign{\medskip}3x/4+y/4\end {array} \right] \\ \\ \\<br />\left[ \begin {array}{cc} 2&6\\\noalign{\medskip}x&y\end {array} \right]\left[ \begin {array}{c} 2\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right] = 5\left[ \begin {array}{c} 2\\\noalign{\medskip}2x/5+y/5\end {array} \right] $$ $TEX: $\\ \dfrac{3x}{4}+\dfrac{y}{4}= 1 \wedge \dfrac{2x}{5}+\dfrac{y}{5} = 1 \\ \\<br />x=-1 \wedge y=7$$ P3) b) $TEX: $\\ \left[ \begin {array}{cc} w&x\\\noalign{\medskip}y&z\end {array} \right] \left[ \begin {array}{c} 2\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right] = \left[ \begin {array}{c} 2\,w+x\\\noalign{\medskip}2y+z\end {array} \right] = \left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}0\end {array} \right] \\ \\ \\<br />\left[ \begin {array}{cc} w&x\\\noalign{\medskip}y&z\end {array} \right] \left[ \begin {array}{c} 3\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right] = \left[ \begin {array}{c} 3\,w+x\\\noalign{\medskip}3y+z\end {array} \right] = \left[ \begin {array}{c} 3\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right]$$ Resolviendo: $TEX: $w=3,\ x=-6,\ y=1, \ z=-2$$ Diagonalizando: $TEX: $B = PDP^{-1}$$ Viendo que D, tiene puros 0 e 1, elevar a 10 no hace nada, por lo que finalmente $TEX: $B^{10}=B$$ Muerte a las matrices en Latex. Mensaje modificado por Kura el Nov 22 2009, 09:13 PM -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 09:02 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Estuvo super accesible, por no decir facil, el control.. la verdad esperaba algo mas saludos, felper andino y su guitarreo loco ajajuajuajaua -------------------- blep

Felipe.Costa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 10:27 PM Publicado: #9
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 89 Registrado: 1-September 07 Desde: Las Condes, Stgo. Miembro Nº: 9.690 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	La p3 igual... pero demostre B^n=PD^nP^-1 pero parece que no era necesario porque estaba demostrado en el apunte .. y de ahi D^10=D por lo que B^10=B --------------------

Felipe.Costa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 2 2010, 01:17 AM Publicado: #10
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 89 Registrado: 1-September 07 Desde: Las Condes, Stgo. Miembro Nº: 9.690 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Esta prueba me trae tantos buenos recuerdos, quizás sea mi único 7 en un control de un ramo DIM --------------------

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