Control 3 MA2002 Cálculo Avanzado y Aplicaciones 2009/2

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Control 3 MA2002 Cálculo Avanzado y Aplicaciones 2009/2, Análisis de Fourier, EDP a sep. vars y residuos.

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Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 20 2009, 11:22 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	como dice mi compadre gzx mas conocido como yei si el aporte de salas (yo) a FMAT: $TEX: \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}<br />\scriptsize membrete<br />\begin{center}<br />\Large CONTROL 3: MA2002 Cálculo Avanzado y Aplicaciones<br />\end{center}<br /><br />\normalsize \bfseries{Problema 1. }<br />\normalfont \begin{enumerate}<br />\item Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ integrable con $x\mapsto xf(x)$ una función integrable en $\mathbb{R}$. Muestre que, formalmente, $\mathcal{F}(xf(x))(s)=i\frac{d}{ds}[\mathcal{F}(f(x))(s)], s\in \mathbb{R}$, donde $\mathcal{F} (\cdot )$ denota la transformada de Fourier. Use esta propiedad para encontrar $\mathcal{F}(x^2e^{x^2/2})(s)$.<br />\item Sea $F(s)=\mathcal{F}(f(x))(s), s\in \mathbb{R}$, la transformada de Fourier de una función $f=f(x),x\in \mathbb{R}$, que suponemos integrable. Demuestre la fórmula de modulación<br />$$\mathcal{F}[f(x)\operatorname{sen}(s_0x)](s)=\dfrac{1}{2i}[F(s-s_0) - F(s+s_0)]$$<br />Aplique esta propiedad, junto con técnicas de evaluación de integrales impropias usando residuos, para encontrar la transformada de Fourier de<br />$$f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(\pi x)}{(x^2+a^2)(x^2-b^2)},\quad x\in\mathbb{R}, \mbox{ con } a>0 \mbox{ y } b>0 \mbox{ constantes.}$$<br /><br />\end{enumerate}$ $TEX: <br />\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}<br />\normalsize \bfseries{Problema 2. }<br />\normalfont \begin{enumerate}<br />\item Encuentre la serie de Fourier \underline{en senos} de la función $f$ dada en $[0,\pi ]$ por<br />$$f(x)=\begin{cases}<br />1\qquad \mbox{ si } 0\leq x\leq \pi /2\\<br />2\qquad \mbox{ si } \pi /2<x\leq \pi<br />\end{cases}$$<br />Discuta la convergencia puntual de dicha serie en relación al valor de $f(x)$ para cada $x\in [0, \pi ]$.\\<br />\bfseries{Indicación:} \normalfont puede ser útil extender apropiadamente $f(x) \mbox{ para } -\pi \leq x < 0.$<br />\item La temperatura $u=u(t,x)$ de una barra aislada de longitud $L=\pi$ compuesta por un material homogéneo e isótropo de coeficiente de difusividad térmica $\alpha=2$, satisface la siguiente EDP<br />$$u_t=2u_{xx},\qquad t>0,\qquad 0<x<\pi,$$<br />bajo las condiciones de borde<br />$$u(t,0)=0 \quad \mbox{y}\quad u(t,\pi )=\pi,\qquad t>0, $$<br />junto con la condición inicial:<br />$$u(0,x)=\begin{cases}<br />1+x\qquad \mbox{ si } 0\leq x< \pi /2\\<br />3/2+x\quad \mbox{ si } x=\pi /2\\<br />2+x\qquad \mbox{ si } \pi /2<x< \pi<br />\end{cases}$$<br />Encuentre una expresión en serie infinita para la distribución de temperatura $u(t,x)$.\\<br />\bfseries Indicación: \normalfont Considere $y(t,x)=u(t,x)-x,$ y escriba la EDP, las CB y la CI satisfechas por esta función auxiliar $y(t,x)$ a partir de lo que se sabe sobre $u(t,x)$. Para encontrar $y=y(t,x)$ puede usar directamente una solución en serie infinita de acuerdo a lo visto en cátedra.<br /><br />\end{enumerate}$ $TEX: \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}<br />\normalsize \bfseries{Problema 3. }<br />\normalfont \begin{enumerate}<br />\item Sean $\alpha,\beta , c, L$ constantes positivas que satisfacen $\alpha^2L^2<4(\beta L^2+c^2\pi^2)$. Usando separación de variables, resuelva la \emph{ecuación del telégrafo}<br />$$u_{tt}+\alpha u_t+\beta u = c^2 u_{xx},\quad t>0,\quad 0<x<L,$$<br />con las condiciones<br />$$u(t,0)=u(t,L)=0,\qquad t>0$$<br />y<br />$$u(0,x)=f(x),\quad u_t(0,x)=0,\quad 0\leq x\leq L.$$<br />La solución debe quedar expresada en términos de los datos del problema: $\alpha,\beta , c, L$ y la función $f(x)$.<br /><br />\end{enumerate}$ distrute. --------------------

Rattlehead_ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 21 2009, 10:40 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 428 Registrado: 19-July 07 Desde: Ñuñoa Miembro Nº: 7.679 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Estaba laaargo el control, termine con la mano adolorida de tanto escribir. -------------------- "Las Matematicas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo"

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 12:31 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	concuerdo, pero al menos pude salvar mi nota del ramo ya que apenas estudié para los controles 1 y 2, o sea tenia malas notas xD --------------------

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