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> Certamen 1 Análisis Funcional y Aplicaciones I [525401]
Jorgeston
mensaje Nov 9 2009, 10:38 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo


Grupo: Baneado
Mensajes: 2.588
Registrado: 7-November 06
Miembro Nº: 2.747
Problema 1 ( 10 puntos)
TEX: <br />a) Sea $(X,||\cdot||)$ espacio normado y $M$ un subespacio vectorial cerrado de $X$. Demuestre que si $M$ no es denso en $X$ , entonces para cada $\theta\in (0,1)$ existe $v_{\theta}\in X$ tal que $||v_{\theta}||=1$ y $d(v_{\theta},M)>\theta$.<br /><br />b) Sea $(X,||\cdot||)$ un espacio normado en el cual la esfera unitaria $S:=\{v\in X:||v||=1\}$ es compacta. Demuestre que $X$ es de dimensión finita y por lo tanto completo.

Problema 2 ( 10 puntos)
TEX: <br />a) Sean $(X,<\cdot,\cdot>)$ un espacio de hilbert, $M$ un subespacio cerrado de $X$ y $v\in X$ dado. Demuestre que $d(v,M)=\sup\{|<v,u>|:u\in M^\perp , ||u||=1\}$<br /><br />b) Sean $(X,<\cdot,\cdot>)$ un espacio de hilbert complejo, y sea $\{v_1,\ldots,v_n\}\subseteq X$. Se define el operador $A:\mathbb{C}^n\to X$ por $A(z)=\sum_{j=1}^{n}z_j v_j$ para todo $z=(z_1,\ldots,z_n\}\in \mathbb{C}^n$. Pruebe que $A\in \mathcal{L}(\mathbb{C}^n,X)$ y determine en forma explicíta $A^*$.

Problema 3 ( 10 puntos)

TEX: Sea $\Omega$ un abierto acotado de $\mathbb{R}^2$ con frontera suficientemente suave. Se define el espacio:<br /><br />$H(rot;\Omega):=\{v:=(v_1,v_2)\in [L^2(\Omega)]^2: rot(v)\in L^2(\Omega) \,\text{en el sentido debil}\}$<br /><br />provisto del producto escalar<br /><br />$$<v,w>_{H(rot;\Omega)}:=\int_{\Omega}v\cdot w+\int_{\Omega}rot(v)rot(w)$$<br /><br />a) Demuestre que $(H(rot;\Omega), <\cdot,\cdot>_{H(rot;\Omega)})$ es hilbert.<br /><br />b) Pruebe que dado $g\in L^2(\Omega)$ existe un único $z_g\in H(rot;\Omega)$ tal que <br /><br />$$\int_{\Omega}z_g \cdot w+\int_{\Omega}rot(z_g)rot(w)=\int_{\Omega}g\,rot(w)$$

Problema 4 (10 puntos)

Sin aplicar el teorema de Hahn-Banach en ninguna de sus formas, resuelva lo siguiente:

TEX: a) Sea $(X,||\cdot||)$ un evn sobre $\mathbb{R}$ , $M$ un subespacio de $X$ y $f\in M'$. Construya explicitamente un funcional lineal y acotado $g:\overline{M}\to \mathbb{R}$ tal que $g(v)=f(v)$ para todo $v\in M$ y la extensión sea equinórmica.<br /><br />b) Sea $(X,<\cdot,\cdot>)$ un espacio de hilbert sobre $\mathbb{R}$ , $M$ un subespacio de $X$ y $f\in M'$. Demuestre que existe $F\in X'$ tal que $F(v)=f(v)$ para $v\in M$ y la extensión sea equinórmica.

Problema 5 (20 puntos)

TEX: Sea $(X,<\cdot,\cdot>)$ un hilbert, y $A\in \mathcal{L}(X)$.<br /><br />a) Demuestre que si $A$ es autoadjunto y $<A(v),v>=0$ para todo $v\in X$ entonces $A=\Theta$<br /><br />b) Muestre que $A$ es autoadjunto ssi $<A(v),v>\in \mathbb{R}$<br /><br />c) Si el cuerpo de base son los reales, muestre que $A$ es autoadjunto ssi $<A(v),w>=<A(w),v>$<br /><br />d) Demuestre que $A$ es unitario ssi $||A(v)||=||v||$ para todo $v$<br /><br />e) Demuestre que $A$ es normal ssi $||A(v)||=||A^*(v)||$ para todo $v$

nota: en la 5b habia q demostrar algo mas pero me da lata ponerlo porque es largo y estoy cansado

Mensaje modificado por Jorgeston el Nov 10 2009, 08:59 PM
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aleph_omega
mensaje Feb 15 2010, 03:33 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 560
Registrado: 24-December 09
Miembro Nº: 64.629
Problema 1.a

Este resultado se conoce como lema de riesz.

TEX: \noindent Sea $\theta \in (0,1)$. Como $M\neq X$ entonces existe $v_1\in X$ que no est\'a en $M$ y asi podemos establecer $\delta:=dist(v_1,M)>0$ pues $M$ es cerrado. <br /><br />\noindent Ahora para cualquier $\epsilon>0$, existe $v_0\in M$ tal que $||v_1-v_0||<\delta+\epsilon$.<br /><br />\noindent En particular se cumple que para $\epsilon_1:=\dfrac{\delta(1-\theta)}{\theta}$ se tiene que existe $v_0\in M$ tal que $||v_1-v_0||<\delta+\epsilon_1=\dfrac{\delta}{\theta}$.<br /><br />\noindent Ahora, sea $v_{\theta}=\dfrac{v_1-v_0}{||v_1-v_0||}$. Es claro que $||v_{\theta}||=1$ y además, para $v\in M$ :<br /><br />\noindent $||v-v_{\theta}||=\dfrac{||\,(||v_1-v_0||v+v_0) -v_1||}{||v_1-v_0||}\geq \dfrac{dist(v_1,M)}{||v_1-v_0||}=\dfrac{\delta}{||v_1-v_0||}>\theta \, \blacksquare$
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