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> Reliquias de fmat.
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mensaje Nov 6 2009, 09:22 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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Aca se compilaran problemas de la antigua seccion "problemas de la semana", que no han sido resueltos. La idea es que aca se posteen las soluciones y les sirva un poco de practica =)

Problema 1: Muestre que existen enteros TEX: $a,b,c$; no todos cero y cada uno con un valor absoluto menor a TEX: $10^6$, que cumplen la siguiente desigualdad:

TEX: $|a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}|<10^{-11}$

Pista: No es necesario encontrar TEX: $a$, $b$, $c$

Problema 2: Se dice que un numero es balanceado si posee la misma cantidad de cifras que de divisores primos. Por ejemplo, el 28 es balanceado (posee 2 cifras y dos factores primos; el 2 y el 7).

i) Encuentre razonadamente un numero balanceado de 6 cifras.
ii) Deterrmine razonadamente la maxima cantidad de cifras que puede tener un numero balanceado.

Problema 3: Encuentre todos los polinomios TEX: $p(x)$ tales que:

TEX: $(x+1)p(x-1)+(x-1)p(x+1)=2xp(x)$


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Ricardo Vargas Obando
Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años).
Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile.



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Pedantic Anarchy...
mensaje Mar 27 2011, 12:51 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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^\ TEX: Problema 3: Haciendo $q(x)=p(x)-p(x-1)$ tenemos que $(x+1)q(x)=(x-1)q(x+1)$, de donde se tiene que $q(1)=q(0)=0$. Ahora si $r$ es una raiz del polinomio, y $r$ es distinto de 0 y 1, se tendria que $q(r+1)=q(r-1)=0$, de donde el polinomio tendria infinitas raices, y por lo tanto $q(x)=0$ y por ende $p(x)=C$(para alguna constante C). Si r no tiene una raiz distinta a las antes expuestas, tendriamos que $q(x)=k(x)(x-1)$ para alguna constante k,de donde es facil ver que $p$ tiene grado menor o igual a 3. Ahora sea $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, luego $p(x)-p(x-1)=a(3x^2-3x+1)+b(2x-1)+c=kx^2-kx$ de donde $a=\dfrac {k}{3}$, $b=0$, y $c=-\dfrac {k}{3}$. Entonces $p(x)=\dfrac {kx^3}{3}-\dfrac {kx}{3}+d$, siendo esta tambien una solucion. Luego las soluciones a la ecuacion polimonial serian $p(x)=C$ y $p(x)=\dfrac {kx^3}{3}-\dfrac {kx}{3}+d$ para $d,k$ y $C$ constantes.


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yo no soy especial
a pesar que ella lo dijo
tengo unos krk
y un celular hechizo
aún vácilo SFDK en el segundo piso
y la frase final
da igual
la improviso
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