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Uno intedezante, Sea creativo, juegue

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~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 4 2009, 03:51 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sean $x_1, x_2,..., x_n$, $y_1, y_2, ..., y_n$ dos secuencias de reales positivos tales que $x_k+y_k=1$ para cada $k=1,2,...,n$, y sea $r$ un entero positivo. Muestre que:<br /><br />$(1-\displaystyle \prod_{k=1}^n x_k)^r+\displaystyle \prod_{k=1}^n(1-y_k^r)\ge 1$$ Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2009, 02:01 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	realmente interesante el problema, muy poco usual. seria bueno que dejaras un hint kain esperando ver una solucion algebraica

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2009, 02:16 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Dec 5 2009, 03:01 PM) realmente interesante el problema, muy poco usual. seria bueno que dejaras un hint kain esperando ver una solucion algebraica A peticion del ambuli, y dado el tiempo que ha pasado para la resolucion de este problema, les dare hints. Hint: Cuando el ambuli se refiere a que espera ver una solucion algebraica, es que tal vez haya una solucion "no algebraica" (de hecho, esa es a que espero, la no algebraica). Para intentar no ser tan explicito, el hint es... recuerde para que sirve el triangulo de Pascal, y juegue a tirar monedas raras (una moneda que la probabilidad de que al lanzarla salga cara no sea de 1/2 necesariamente)^^. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2020, 02:47 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Consideremos $r$ juegos de monedas idénticos con $n$ monedas cada uno (las denotaremos por $\{ a_{i,j} \}_{1\leq i\leq n, 1\leq j\leq r }$) donde si $i$ está fijo, las monedas $a_{i,j}, 1\leq j\leq r$ son idénticas y la probabilidad de que al lanzar la moneda $a_{i,j}$ salga cara es $x_i, \ \forall j$ (y por tanto la probabilidad de que salga sello es $y_i$). Con este escenario, consideremos el experimento de lanzar todas las monedas independientemente. Denotemos por $c = \text{cara}$ y $s = \text{sello}$, definamos los eventos $A = \{ <br />\exists i,\forall j : a_{i,j} = s \}$ y $B = \{ \forall j, \exists i: a_{i,j} = s \}$, es claro que $A\subset B$, luego $\mathbb{P}(A)\leq \mathbb{P}(B)$, pero notemos que $\mathbb{P}(A) = 1-\mathbb{P}(\{ \forall i,\exists j: a_{i,j} = c \}) = 1-\prod_{i=1}^{n}{\mathbb{P}(\{\exists j: a_{i,j} = c \})} = 1-\prod_{i=1}^{n}{(1-\mathbb{P}(\{\forall j: a_{i,j} = s \}))} = 1-\prod_{i=1}^{n}{(1-y_i^r)}$ y por último $\mathbb{P}(B) = \prod_{j=1}^{r}{\mathbb{P}(\{ \exists i: a_{i,j} = s \})} = \prod_{j=1}^{r}{(1-\mathbb{P}(\{ \forall i: a_{i,j} = c \}))} = \prod_{j=1}^{r}{(1-\prod_{i=1}^{n}{x_i})} = (1-\prod_{i=1}^{n}{x_i})^r$ de donde concluimos que $(1-\prod_{i=1}^{n}{x_i})^r \geq 1-\prod_{i=1}^{n}{(1-y_i^r)}$ que es lo pedido.$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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