Certamen 1 Lógica y Fundamentos

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Certamen 1 Lógica y Fundamentos, 2009-2

Opciones

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 29 2009, 12:31 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	Teoría de Conjuntos Los 5 primeros problemas de la evaluación del año pasado Lógica proposicional 1) Enunciar las 3 versiones del teorema de compacidad. 2) Sea $TEX: $G$$ un grupo. Un grupo es ordenable si existe un relación de orden total tal que respeta la operación del grupo, es decir, $TEX: $x\leq y\implies xz\leq yz$$ . Se define una lógica con un conjunto de vartiables $TEX: $V=G\times G$$ a) Demostrar que el conjunto $TEX: $\mathcal{O}=\mathcal{A}\cup\mathcal{T}\cup\mathcal{D}\cup\mathcal{C}$$ donde $TEX: $\mathcal{A}=\{\neg(x,y)=\neg(y,x):x,y\in G, x\neq y\}$$ , $TEX: $\mathcal{D}=\{(x,x):x\in G\}$$ , $TEX: $C=\{(x,y)\rightarrow (xz,yz):x,y,z\in G\}$$ es satisfacible si y sólo si $TEX: $G$$ es ordenable. b) Deducir que un grupo es ordenable si y sólo si todo subgrupo finito es ordenable ( Usar teorema de compacidad). c) Deducir que un grupo abeliano es ordenable si y sólo si es libre de torsión. saludos Mensaje modificado por Jorgeston el Oct 29 2009, 12:36 AM

lapiraathaaxh Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2012, 06:24 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 7 Registrado: 25-May 12 Miembro Nº: 106.413 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	GRAAAAAAAAAAAAAAAACIAS!!:) -------------------- Universidad de Concepción. Carolina.

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2018, 06:50 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Voy a resolver el problema 2 de lógica. Enunciare a mi modo el problema eso sí porque creo que la parte a) está muy mal escrita (por ejemplo, supongo que donde dice subgrupo finito se refiere a finitamente generado). Para los que no se manejan en esto (como yo hace una semana). A grandes razgos, una teoría es un conjunto no necesariamente finito de axiomas, los cuales deben estar escritos en un lenguaje $TEX: $\mathcal{L}$$ de primer orden. Una teoría se dice satisfacible si existe un modelo para ella, es decir, un conjunto dotado de la estructura necesaria para poder expresar los axiomas (i.e, una $TEX: $\mathcal{L}$$ -estructura) y donde los axiomas son ciertos al interpretarlos. El Teorema de compacidad dice que una teoría es satisfacible ssi todo subconjunto finito de axiomas es satisfacible. Sea $TEX: $(G,\cdot)$$ un grupo fijo. Considere el lenguaje de primer orden dado por $TEX: $\mathcal{L}=(G,, R)$$ donde los elementos de $TEX: $G$$ son símbolos de constantes, $TEX: $$$ es un símbolo de función binaria y $TEX: $R$$ un símbolo de relación binaria. a) Considere los conjuntos de sentencias (o axiomas) $TEX: $\mathcal{T}=\{gh=gh \mid g,h\in G\}$$ , $TEX: $\mathcal{A}=\{xRy\leftrightarrow\neg yRx\mid x,y \in G, x\neq y\}$$ , $TEX: $\mathcal{B}=\{xRx \mid x\in G\}$$ y $TEX: $\mathcal{C}=\{xRy\rightarrow x\cdot zRy\cdot z \mid x,y,z\in G\}$$ . Pruebe que $TEX: $\mathcal{O}=\mathcal{T}\cup\mathcal{A}\cup\mathcal{B}\cup\mathcal{C}$$ es satisfacible si y solo si $TEX: $G$$ es un grupo ordenable. Solución:* Es claro que si $TEX: $G$$ es un grupo ordenado entonces es de manera natural una $TEX: $\mathcal{L}$$ -estructura interpretando todos los símbolos con su correspondiente en $TEX: $G$$ . Como claramente satisface las sentencias arriba tenemos que $TEX: $\mathcal{O}$$ es satisfacible. Ahora supongamos que $TEX: $\mathcal{O}$$ es satisfacible y sea $TEX: $\mathcal{M}=(M,G,,R)$$ un modelo. Definimos el mapa $TEX: $\psi : G \rightarrow M$$ por $TEX: $g\mapsto g^\mathcal{M}$$ (donde, como es usual, $TEX: $g^\mathcal{M}$$ representa la interpretación de $TEX: $g$$ en $TEX: $\mathcal{M}$$ ). Como $TEX: $\mathcal{M}$$ satisface $TEX: $\mathcal{T}$$ tenemos que el mapa arriba preserva la operación binaria. Ahora definiendo $TEX: $a\geq b$$ ssi $TEX: $\psi(a)R\psi(b)$$ es fácil ver que $TEX: $\geq$$ es un orden para $TEX: $G$$ . b) $TEX: $G$$ es un grupo ordenable si y solo si todo subgrupo finitamente generado de $TEX: $G$$ es ordenable. Solución:* Si $TEX: $G$$ es ordenable obviamente todo subgrupo tambien es ordenable. Ahora supongamos que todo subgrupo finito de $TEX: $G$$ es ordenable. Por la parte anterior basta probar que $TEX: $\mathcal{O}$$ es satisfacible. Y por compacidad basta probar que todo subconjunto finito de $TEX: $\mathcal{O}$$ es satisfacible. Para esto consideremos un subconjunto finito $TEX: $\mathcal{O}'\subset \mathcal{O}$$ . Consideremos el subgrupo $TEX: $H<G$$ generado por todos los simbolos de $TEX: $G$$ que salen en $TEX: $\mathcal{O}'\cap \mathcal{T}$$ . Este es un subgrupo finitamente generado y por lo tanto es ordenado. Dotando a $TEX: $H$$ de una $TEX: $\mathcal{L}$$ -estructura esperable se tiene que $TEX: $H$$ es un modelo para $TEX: $\mathcal{O}'$$ y por lo tanto está teoría es satisfacible. c) Si $TEX: $G$$ es un grupo abeliano, es ordenable ssi es libre de torsión. Solución: Si es ordenable es libre de torsión. Por otro lado si es libre de torsión todo subgrupo finitamente generado es isomorfo a un grupo de la forma $TEX: $\oplus_{i=1}^n \mathbb{Z}$$ que es ordenable con el orden Lexicografico. Luego por la parte anterior el grupo es ordenable. Mensaje modificado por Heiricar el Jan 31 2018, 11:34 AM