Un bello multipropuesto teórico

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Un bello multipropuesto teórico, Funciones aritméticas

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~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 18 2009, 06:33 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean $TEX: $f,g$$ dos funciones aritmeticas. Se define su convolucion o producto de Dirichlet como: $TEX: $(fg)(k)=\displaystyle \sum _{ab=k} f(a)\cdot g(b)$$ Sean $TEX: $F(s)=\sum_{n\in \mathbb{N}} f(n)n^{-s}$$ , $TEX: $G(s)=\sum_{n\in \mathbb{N}} g(n)n^{-s}$$ 1. Demuestre que $TEX: $fg\leftrightarrow F(s)G(s)$$ 2. A partir de ahora, $TEX: $\zeta (s)$$ denotara la funcion zeta de Riemann. Ocupando el problema 1, muestre que: i) $TEX: $\tau \leftrightarrow \zeta(s)^2$$ ii) $TEX: $\mu \leftrightarrow \zeta(s)^{-1}$$ iii) $TEX: $\phi \leftrightarrow \dfrac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}$$ Deduzca formulas para $TEX: $\tau, \phi$$ 3. Suponga que $TEX: $f,g$$ son multiplicativas. Muestre que $TEX: $fg$$ tambien lo es. Dedicado a snw, Pasten y Alucard, por introducirme en tan bonito tema. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico:* Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 19 2009, 07:09 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	1. ... 2. Dando por hecho 1, procedemos como sigue: a) No me acuerdo que hace la función tau. b) La convolución de la función de MÖBIUS con la función aritmética idénticamente igual a 1 es igual a la función artimética que vale 1 en el 1 y cero en el resto de naturales. Luego, si $TEX: $\displaystyle F_{\mu}$$ es la serie de Dirichlet de la función de MÖBIUS se tiene que $TEX: $\displaystyle F_{\mu}(s)\left(\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n^{s}}\right) = 1.$$ Lo que esta en el paréntesis del lado izq. es la función zeta cuando s esta en el dominio de convergencia correspondiente. Al despejar $TEX: $F_{\mu}$$ llegas a la identidad que quieres. Importante: el despeje anterior sólo tiene razón de ser cuando s esta en una región libre de ceros de la función zeta. c) La convolución de la función de Euler con la función idénticamente igual a 1 es igual a la identidad del conjunto de naturales. Luego, del propuesto 1 se sigue que que la serie de Dirichlet para la de Euler es igual al cociente de $TEX: $\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{n}{n^{s}} = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n^{s-1}}= \zeta(s-1)$$ con la serie de Dirichlet de la función aritmética idénticamente igual a 1. Claramente la serie de Dirichlet de la idénticamente 1 es la función zeta y sería. 3. Viene en un pdf de Matías. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 19 2009, 08:02 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Me dice Caín que tau denota para él la función que cuenta el número de divisores positivos de un natural. Esto es, $TEX: $\displaystyle \tau(n) = \sum_{d\|n} 1.$$ De esta definición se sigue entonces que $TEX: $\mathbf{1} \ast \mathbf{1} = \tau$$ , donde $TEX: $\mathbf{1}$$ es la función aritmética idénticamente igual a 1. Esto es, $TEX: $\mathbf{1}$$ es una función que vale 1 en cada natural. Del resultado en el propuesto 1 se sigue entonces que la serie de Dirichlet para la función tau es el cuadrado de la serie de Dirichlet de la función idénticamente igual a 1. Claramente, la serie de Dirichlet de $TEX: $\mathbf{1}$$ es la función zeta y de aquí el resultado deseado. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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