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~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 10 2009, 06:45 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean $TEX: $A$$ , $TEX: $B$$ dos puntos con coordenadas enteras del grafico de un polinomio de grado 2009 con coeficientes enteros. Demuestre que si la longitud del segmento $TEX: $AB$$ es entera, entonces $TEX: $AB$$ es paralelo al eje $TEX: $x$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 13 2009, 08:47 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Lema:Sea $TEX: $m\in\mathbb{Z}$$ tal que $TEX: $m$$ es un cuadrado perfecto, entonces $TEX: $m+1$$ es un cuadrado perfecto si y solo si $TEX: $m=0$$ Dem: Sea $TEX: $m=n^2$$ entonces como $TEX: $n<n+1\iff m=n^2<(n+1)^2=m+2n+1$$ , como $TEX: $m+1$$ es cuadrado entonces necesariamente es el cuadrado mas proximo a $TEX: $m$$ , es decir, $TEX: $m+1=m+2n+1\iff n=0$$ por lo tanto $TEX: $m=0\blacksquare$$ Sea $TEX: $p(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{2009}a_kz^k$$ y definimos $TEX: $A=(x,p(x))$$ y $TEX: $B=(y,p(y))$$ , ambos puntos de cordenadas enteras pues $TEX: $\mathbb{Z}[x]$$ es cerrado. Ahora definimos la pendiente de la recta entre $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ como $TEX: $m=\dfrac{p(x)-p(y)}{x-y}$$ la cual es entera pues $TEX: $a_k(x^k-y^k)=a_k(x-y)(x^{k-1}+...+1)$$ cuando $TEX: $k$$ es impar y $TEX: $a_k(x^k-y^k)=a_k(x^{k/2}-y^{k/2})(x^{k/2}+y^{k/2})$$ si $TEX: $k$$ es par, repitiendose hasta que $TEX: $\dfrac{k}{2^i}=j$$ impar, con $TEX: $i,j$$ naturales repitiendose la factorizacion anterior, con eso se deduce que $TEX: $m$$ es entero. Entonces la distancia $TEX: $\overline{AB}$$ estara dada por: $TEX: $\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{(x-y)^2+(p(x)-p(y))^2}=\|x-y\|\sqrt{1+m^2}$$ Luego como $TEX: $1+m^2$$ es un cuadrado perfecto pues $TEX: $\overline{AB}$$ es entero, entonces por el lema se tiene que $TEX: $m=0$$ , es decir, $TEX: $\overline{AB}$$ es paralela al eje $TEX: $x$$ como se queria probar. obs: Tambien se podia argumentar que $TEX: $x-y\|p(x)-p(y)$$ pues $TEX: $p(x)-p(y)\equiv x-y\equiv 0\mod_{x-y}$$ saludos -------------------- blep

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 13 2009, 05:38 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(snw @ Oct 13 2009, 09:47 AM) Lema:Sea $TEX: $m\in\mathbb{Z}$$ tal que $TEX: $m$$ es un cuadrado perfecto, entonces $TEX: $m+1$$ es un cuadrado perfecto si y solo si $TEX: $m=0$$ Dem: Sea $TEX: $m=n^2$$ entonces como $TEX: $n<n+1\iff m=n^2<(n+1)^2=m+2n+1$$ , como $TEX: $m+1$$ es cuadrado entonces necesariamente es el cuadrado mas proximo a $TEX: $m$$ , es decir, $TEX: $m+1=m+2n+1\iff n=0$$ por lo tanto $TEX: $m=0\blacksquare$$ Sea $TEX: $p(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{2009}a_kz^k$$ y definimos $TEX: $A=(x,p(x))$$ y $TEX: $B=(y,p(y))$$ , ambos puntos de cordenadas enteras pues $TEX: $\mathbb{Z}[x]$$ es cerrado. Ahora definimos la pendiente de la recta entre $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ como $TEX: $m=\dfrac{p(x)-p(y)}{x-y}$$ la cual es entera pues $TEX: $a_k(x^k-y^k)=a_k(x-y)(x^{k-1}+...+1)$$ cuando $TEX: $k$$ es impar y $TEX: $a_k(x^k-y^k)=a_k(x^{k/2}-y^{k/2})(x^{k/2}+y^{k/2})$$ si $TEX: $k$$ es par, repitiendose hasta que $TEX: $\dfrac{k}{2^i}=j$$ impar, con $TEX: $i,j$$ naturales repitiendose la factorizacion anterior, con eso se deduce que $TEX: $m$$ es entero. Entonces la distancia $TEX: $\overline{AB}$$ estara dada por: $TEX: $\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{(x-y)^2+(p(x)-p(y))^2}=\|x-y\|\sqrt{1+m^2}$$ Luego como $TEX: $1+m^2$$ es un cuadrado perfecto pues $TEX: $\overline{AB}$$ es entero, entonces por el lema se tiene que $TEX: $m=0$$ , es decir, $TEX: $\overline{AB}$$ es paralela al eje $TEX: $x$$ como se queria probar. saludos Solucion correcta Mati, justo la esperada. Para el lector, le sugiero que recuerde dos propiedades que demostro el snw en esta solucion: El lema (que su enunciado es algo intuitivo, pero necesario probar) y el hecho que $TEX: $(p(x)-p(y))/(x-y)$$ es entero con x distinto de y. Tambien creo que leyendo la demostracion el lector podra darse cuenta que el grado del polinomio no necesariamente es 2009. Saludos y -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 19 2009, 04:04 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kain #13 @ Oct 13 2009, 07:38 PM) Solucion correcta Mati, justo la esperada. Para el lector, le sugiero que recuerde dos propiedades que demostro el snw en esta solucion: El lema (que su enunciado es algo intuitivo, pero necesario probar) y el hecho que $TEX: $(p(x)-p(y))/(x-y)$$ es entero con x distinto de y. Tambien creo que leyendo la demostracion el lector podra darse cuenta que el grado del polinomio no necesariamente es 2009. Saludos y $TEX: Teorema: $P(b) \equiv P(a) (mod. \ b-a)$.$ , de aquí se obtiene la propiedad mencionada por Kain#13. Saludos Kain y snw. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

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