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「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 9 2006, 10:44 AM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Sea $ABCD$ un cuadrado. $M$ es punto medio de $\overline {AD}$ y $E$ un punto sobre el lado $\overline {AB}$. $P$ es la intersecci\'on de $\overline {CE}$ y $\overline {BM}$. Mostrar que la recta $\overline {DP}$ dimidia a $\overline {BE}$.$ Hay un hint rebuscado en el título Mensaje modificado por Krizalid el Nov 9 2006, 10:46 AM

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 2 2006, 09:57 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://www.subir-imagenes.com/subir_imagenes_fotos/a22200d247.png');}" /> $TEX: <br />Antes que nada, notemos que $\bigtriangleup ABM \cong \bigtriangleup BCE$, por Criterio LLL. Sea $\angle MBA \cong \angle ECB \cong \alpha$ y tambien $\angle AMB \cong \angle BEC \cong \beta$. \\<br />Notemos que $\alpha+\beta=90$.\\<br />Con esto ultimo se concluye que $\angle BPC \cong 90$.\\<br />Ahora notemos que $\bigtriangleup MBA \cong \bigtriangleup MCD$. Por conseguiente $\angle DCM \cong \alpha$.\\<br />\\<br />Ahora notemos que Cuadrilatero MPCD es ciclico, porque $\angle MCD+ \angle CPF=90+90=180$. Es directo que $\angle DPM \cong DCM \cong \alpha$.<br />Luego $\angle FPB \cong \angle DPM \cong \alpha$ , por ser opuestos por el vertice.\\<br />Recordemos que $\angle MBA \cong \alpha \Longrightarrow FB \cong FP $ \\<br />\\<br />Tambien notemos que $\angle CPD \cong EPG \cong \beta$ tambien $BEC\cong \beta$ $ \Longrightarrow EF\cong PF$.\\<br />\\<br />Finalmente tenemos que:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />FB & =PF \\<br />EF & =PF \\<br />EF & =FB \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />\\<br />Demostrando lo pedido.\\<br />$ $TEX: Q.E.D.$ Saludos EDITADO... Mensaje modificado por The Lord el Dec 3 2006, 02:05 PM

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 2 2006, 11:00 AM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Solución alterna screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img50.imageshack.us/img50/2458/demowq1.png');}" /> $TEX: Prolongamos $\overline {CD}$ y $\overline {BM}$, tal que ambas prolongaciones se corten en un punto $Q$.\\<br />\\<br />En el $\Delta ABM$ y $\Delta DQM$: $\overline {AM} = \overline {MD}$ (ya que $M$ es punto medio), $\measuredangle {\text{ }}AMB = \measuredangle {\text{ }}DMQ$ (opuestos por el v\'ertice) y $\measuredangle {\text{ }}A = \measuredangle {\text{ }}D$ (rectos); $\therefore {\text{ }}\Delta ABM \cong \Delta DQM$ (criterio ALA), luego $\overline {AB} = \overline {QD}$. Por otra parte el $\Delta EFP \sim \Delta CDP$ (criterio AA), de esto $\dfrac{{\overline {EF} }}{{\overline {CD} }} = \dfrac{{\overline {FP} }}{{\overline {PD} }}$, tambi\'en el $\Delta QPD \sim \Delta BPF$, por tanto $\dfrac{{\overline {FP} }}{{\overline {PD} }} = \dfrac{{\overline {BF} }}{{\overline {QD} }}$, finalmente $\dfrac{{\overline {BF} }}{{\overline {QD} }} = \dfrac{{\overline {EF} }}{{\overline {CD} }}$, pero $\overline {AB} = \overline {QD} = \overline {CD}$ (demostrado y por conclusi\'on del $ABCD$ cuadrado). Finalmente $\overline {BF} = \overline {EF}$.$ Moderadores

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 2 2006, 11:06 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Está bien, se envía a la sección de problemas resueltos. Personalmente, había ideado la segunda solución. La primera tiene el "defecto" de cambiar las letras indicadas en el enunciado, normalmente eso es de mal gusto, pues puede ayudar a que los demás se pierdan La moraleja para quienes comienzan en geometría: perder el miedo a las construcciones auxiliares Finalmente, pregunto a Krizalid, por qué el título contiene un hint -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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