Sobre el grupo de Dedekind de menor orden y no-abeliano, Poniendo todo lo publicado hasta el momento en una sola parte Opciones

[coquitao]

Eso. Quiero meter en este post todo lo que he visto en fmat.cl relativo al tema de los cuaterniones. Básicamente lo que aquí encontrarán serán ligas a las principales consultas y propuestos (resueltos y sin resolver) que sobre el tema se pueden encontrar en el foro.

1. Un grupo es de Dedekind si todos sus subgrupos son normales. Claramente, todo grupo abeliano es de Dedekind. Una pregunta natural que surge en la teoría es si existen grupos no abelianos que sean de Dedekind. El orden del grupo no-abeliano más pequeño que es de Dedekind es 8, tal como Abu-Khalil lo enunciara en la siguiente consulta de lkManuel:

I.

El atento lector debe estar preguntándose en este momento qué demonios es eso de Mi opinión es que Abu-Khalil se tomó la libertad de presentar su respuesta como tal pues dicha estructura ya era conocida para él, tal como el tema de abajo lo puede constatar:

II.

(Ahora que lo recuerdo, aún hace falta que C. F. Gauss pase a revisar esa creación suya.) Siendo sinceros, también he de confesar que esa caracterización de no es mucho de mi agrado. Aún así, es importante conocerla. Otra caracterización de que en la corta vida del subforo de Álgebra Abstracta hemos visto es la siguiente:

III.

El tema de Sephiroth99 muestra ya una definición para que esta mucha más cercana a mi favorita. ¿A que definición me refiero? Todos los ingredientes ya están en la mesa, estimados compañeros. Podemos definir a como el grupos cuyos elementos son {1,-1,i,-i,j,-j,k,-k} y que están sujetos a las relaciones siguientes



Esta presentación de tiene al menos una ventaja con respecto a cada una de las dos definiciones alternativas presentadas anteriormente: es evidente de la definición que el grupo es de orden 8 y evita, en contraposición con la definición de Sephiroth99, el uso de matrices y por tanto los tediosos cálculos que con ellas surgen.

2. La pregunta que entra en escena ahora es de dónde es que sale nuestro amigo . Para no hacer larga la cosa voy a remitirles al tercer libro que aparece en este post que Jean nos obsequiara

IV.

Una enseñanza que nos queda de la lectura del texto previo es que la denominación cuaterniones para el grupo no es del todo corrrecta. es en realidad solamente un subgrupo del grupo de unidades del anillo de cuaterniones de Hamilton. Un dato importante que se puede mencionar en esta parte es que Dedekind bautizó como grupos de Hamilton o hamiltonianos a aquellos grupos de Dedekind que no son conmutativos. La razón de esta denominación es más que aparente al notar que fue Hamilton quién indirectamente introdujo a escena el grupo más pequeño (finito, incidentalmente) que satisface dicha propiedad.

3. Saltan a la mente algunos propuestos relacionados con el tema central de nuestra discusión y que aún se encuentran en espera de respuesta. Ellos son:

V, VI y VII.

Como recompensa adelantada para los individuos que resuelvan esa tercia de perlas del Álgebra viene una pieza muy interesante de información. Podemos decir que en general el único de Hamilton que hay es . Aunque esto pueda sonar inexacto en una primera lectura, el dato es que todos los grupos de Dedekind han sido clasificados ya. Dedekind mismo hizó la clasificación en el caso finito y Reinhold Baer en el caso infinito. La conclusión final que se obtuvó de los esfuerzos de ambos es que un grupo de Dedekind o es abeliano o se puede escribir como el producto directo de y un grupo abeliano de torsión que no tiene elementos de orden 4.

NOTAS.

i) Si saben de un tema que debe estar aquí y que por alguna razón no lo ven, háganme saber de favor....