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Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2009, 05:08 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	$TEX: Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos, tales que $card(A)>card(B)$. Demostrar que no existe una inyección $f:A\to B$$

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2009, 05:29 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Es suficiente con demostrar que para toda aplicación F de A en B siempre se puede dar un elemento b de B cuya fibra tiene al menos dos elementos. Prueba. Sea F una aplicación de A en B. Se afirma que existe un elemento b de B tal que $TEX: $\|F^{-1}(b)\| \geq \|A\|/\|B\|.$$ Si este no fuera el caso se tendría entonces que $TEX: $\|F^{-1}(b)\| < \|A\|/\|B\|$$ para cada b en B. De esto se seguiría que $TEX: $\|A\| = \sum_{b \in B} \|F^{-1}(b)\| < \|A\|$$ lo cual es absurdo. Concluímos entonces que siempre hay un elemento b de B tal que $TEX: $\|F^{-1}(b)\| \geq \left \lceil \|A\|/\|B\| \right \rceil \geq 2$$ y de aquí el resultado. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2009, 05:36 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No sé si estaré metiendo las patas, pero prefiero intentarlo a no saber nunca si estoy bien o mal: $TEX: Si suponemos que sí existe tal inyección para $f: A\rightarrow B$, asociamos a cada elemento de B que está en el conjunto de recorrido de A (puede que existan elementos de de B que no sean imagen de ningún A), una única preimagen en A, entonces tendríamos que la cantidad de elementos de A que tienen imagen en B está acotada por la cardinalidad de B, que por enunciado, sabemos que es menor que la de A. Esto daría lugar a que existan elementos en A que no tienen imagen, lo cual contradice la hipótesis de que f es función.$ -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2009, 06:18 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(coquitao @ Oct 3 2009, 06:29 PM) Es suficiente con demostrar que para toda aplicación F de A en B siempre se puede dar un elemento b de B cuya fibra tiene al menos dos elementos. Prueba. Sea F una aplicación de A en B. Se afirma que existe un elemento b de B tal que $TEX: $\|F^{-1}(b)\| \geq \|B\|/\|A\|.$$ Si este no fuera el caso se tendría entonces que $TEX: $\|F^{-1}(b)\| < \|B\|/\|A\|$$ para cada b en B. De esto se seguiría que $TEX: $\|A\| = \sum_{b \in B} \|F^{-1}(b)\| < \|B\|$$ lo cual sería absurdo en base a las hipótesis dadas sobre las cardinalidades de A y B. Concluímos entonces que siempre hay un elemento b de B tal que $TEX: $\|F^{-1}(b)\| \geq \left \lceil \|B\|/\|A\| \right \rceil \geq 2$$ y de aquí el resultado. No soy un entendido en el tema de fibras, asi que no puedo calificar tu solución, pero presupongo que es correcta. CITA(felper @ Oct 3 2009, 06:36 PM) No sé si estaré metiendo las patas, pero prefiero intentarlo a no saber nunca si estoy bien o mal: $TEX: Si suponemos que sí existe tal inyección para $f: A\rightarrow B$, asociamos a cada elemento de B que está en el conjunto de recorrido de A (puede que existan elementos de de B que no sean imagen de ningún A), una única preimagen en A, entonces tendríamos que la cantidad de elementos de A que tienen imagen en B está acotada por la cardinalidad de B, que por enunciado, sabemos que es menor que la de A. Esto daría lugar a que existan elementos en A que no tienen imagen, lo cual contradice la hipótesis de que f es función.$ Si, la idea es correcta. Otra forma de hacerlo (Suponiendo axioma de elección) es: Como $TEX: $\|A\|>\|B\|$$ entonces $TEX: $A$$ no es subpotente a $TEX: $B$$ , que equivale a que no existe una inyección de $TEX: $A$$ en $TEX: $B$$ . Esto es porque $TEX: $(i)\iff (ii)$$ : i) $TEX: $E$$ subpotente a $TEX: $F$$ ii) $TEX: $\|E\|\leq \|F\|$$ Demostración: $TEX: Por un lado, $E\simeq \|E\|$ y $F\simeq F$ y tenemos que $\|E\|$ es equipotente $E'$ que inyecta a $\|F\|$. Por lo tanto E' es isomorfo a un unico ordinal $\beta$ tal que $\beta\leq\|F\|$, y se concluye entonces que $\|E\|=\|E'\|\leq \|F\|$<br /><br />Por otra parte, $\|E\|\leq \|F\| \implies \|E\|\subseteq \|F\|$ y se considera $ id:E\hookrightarrow \|F\|\blacksquare$$ saludos Mensaje modificado por Jorgeston el Oct 3 2009, 06:18 PM

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2009, 07:56 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(Jorgeston @ Oct 3 2009, 06:18 PM) No soy un entendido en el tema de fibras, asi que no puedo calificar tu solución, pero presupongo que es correcta. Fibra es sólo otra manera de llamarle a la imagen inversa de un conjunto que consta de un punto. Era claro del contexto, así como también es claro que las fibras de los elementos de B te dan una partición de A y de ahí la expresión que doy para \|A\| en términos de los cardinales de las fibras respectivas. Creo que el uso del A-C en este propuesto está un poco fuera de lugar. ¡A y B son finitooos, estimado Sr. Coneno! -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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