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Paralelogramus

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 2 2009, 09:34 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sean $M,N$ puntos en los lados $\overline{AB}, \overline{BC}$ de un paralelogramo $ABCD$, tales que $\overline{AM}=\overline{CN}$. Considere $Q=\overline{AN}\cap \overline{CM}$. <br /><br />Demuestre que $\overline {DQ}$ es la bisectriz del $\measuredangle ADC$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Nabodorbuco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 7 2009, 01:17 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 513 Registrado: 25-April 08 Desde: CSMC Miembro Nº: 21.189 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Este problema me llamo la atencion un dia que estaba a la deriva en Fmat. De todas maneras dejo la posibilidad para aquellos que aun compiten ya que yo estoy ''retirado'' xD, asi que usare el spoiler. (las letras se me han cambiado un poco u.u) Paralelogramo.JPG ( 18.54k ) Número de descargas: 11 Entonces definamos algunos trazos como $TEX: $AB=b, BD=a, AE=DF=c$$ y aplicando un poco de relaciones de triangulos semejantes tenemos que $TEX: $\displaystyle \frac{AH}{AE}=\frac{CD}{CE}\Rightarrow \frac{AH}{c}=\frac{b}{a-c}\Rightarrow AH=\frac{bc}{a-c}$$ Ahora fijemonos en los triangulos HAQ y DFQ en los cuales se cumple que $TEX: $\displaystyle \frac{AH}{QH}=\frac{DF}{QD}\Rightarrow \frac{QD}{QH}=\frac{c(a-c)}{bc}=\frac{a-c}{b}$$ Dicho de otra manera tenemos que $TEX: $\displaystyle \frac{QH}{QD}=\frac{b}{a-c}$$ multipliquemos por $TEX: $a$$ a ambos lados... $TEX: $\displaystyle \frac{a(QH)}{QD}=\frac{ab}{a-c}=\frac{ab-bc+bc}{a-c}=\frac{b(a-c)}{a-c}+\frac{bc}{a-c}=b+\frac{bc}{a-c}=AB+AH=HB=\frac{a(QH)}{QD}\Rightarrow \frac{HB}{QH}=\frac{a}{QD}$$ pero $TEX: $a=BD$$ por lo tanto $TEX: $\displaystyle \frac{HB}{QH}=\frac{BD}{QD}$$ Notemos que esto ultimo corresponde al teorema de la bisectriz, o sea, como esto se cumple, BQ debe ser bisectriz, (QD para el problema original xD) Mensaje modificado por Nabodorbuco el Oct 7 2009, 01:18 PM -------------------- FunGeometry SIEMPRE CON LAS MEJORES INTENCIONES DE AYUDAR. ATTE. NABODORBUCO EL TERCER OJO GoGeometry LA IDEA ES QUE NO ESPERES QUE FMAT RESUELVA TUS TAREAS, ESCRIBE SIEMPRE CUALES SON TUS INQUIETUDES

Link_wnD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 7 2009, 02:56 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 300 Registrado: 23-April 09 Desde: asdasdfa Miembro Nº: 49.234 Nacionalidad: Sexo:	Bastante clara la solucion anterior.. Yo lo habia visto un poco mas simple aunque igual con una tranca que no me dejaba avanzar xD, utilizando el dibujo de nabodorbuco habia trazado una paralela a AC tal que esta pase por F y corte a AB en Z y otra paralela a CD que contenga a E y corte a DB en Y . Ahora sea X la interseccion de ambas paralelas, formaria el paralelogramo XYBZ con YB = ZB, con lo que si X vive en BQ está listo, pero he ahí el problema no se me ocurre como probarlo. No tengo entrenamiento en estas cosas, asi que soluciones muy diestras aun no puedo dar xD. Asi que perdonen lo flaite de mi intento ahaha

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 7 2009, 06:52 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien !!!!!! La solucion de Nabodorbuco en idea es correcta, solo te sugiero que arregles el detalle de las letras (en un paralelogramo los vertices tradicionalmente van ordenados de la forma A-B-C-D, veo unas E, F, y un H que se entiende que hace, pero deberias definirlo) Se pasara cuando se soluciones esos detalles. Es bueno ver a retirados participando en estos sectores e intenten estos problemitas A Link_wnD, debo reconocer que me parecio interesante tu idea de las paralelas. Para probar lo que quieres probar, te sugiriria que ocupes el bonito Teorema de Menelao... y ocupar algunas semejanzas. Y tu intento no es nada flayte, las ideas a las que has llegado estan fundamentadas asi que no lo considero flayte El interesado podra intentar una solucion distinta a los dos caminos mostrados, pues (al menos) hay una solucion mas. Este es un problema que fue propuesto en una prueba argentina que era clasificatoria a la ibero. saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Link_wnD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 8 2009, 04:35 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 300 Registrado: 23-April 09 Desde: asdasdfa Miembro Nº: 49.234 Nacionalidad: Sexo:	Paralelogramo.JPG ( 16.56k ) Número de descargas: 3 Sea ZN // DC y MY // AD, tal que Q pertenece a MY y ZN Por lo que pude captar, una condición suficiente para que D, X y Q sean colineales es que : $TEX: $\dfrac{\overline{ZX}}{\overline{NX}}\cdot \dfrac{\overline{NQ}}{\overline{AQ}}\cdot \dfrac{\overline{AD}}{\overline{ZD}} = 1$$ Ahora bien, fijando la mirada en los triangulos AQK y QNX se tiene que (1) $TEX: $\dfrac{\overline{NX}}{\overline{AK}} = \dfrac{\overline{NQ}}{\overline{AQ}}$$ en los triangulos DZX y DAK (2) $TEX: $\dfrac{\overline{DZ}}{\overline{ZX}} = \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AK}}$$ $TEX: $(1)\times (2)$$ $TEX: $\dfrac{\overline{NX}}{\overline{AK}}\times \dfrac{\overline{DZ}}{\overline{ZX}} = \dfrac{\overline{NQ}}{\overline{AQ}}\times \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AK}}$$ $TEX: $\dfrac{\overline{NX}}{\overline{ZX}}\cdot \dfrac{\overline{DZ}}{\overline{AD}}\cdot \dfrac{\overline{AQ}}{\overline{NQ}} = 1$$ Como AM = CN, se tiene que ZD = ZX, con esto los triangulos ZXD y YDX son congruentes (LLL) con lo que $TEX: $\measuredangle{ADQ} = \measuredangle{QDC}$$ Luego DQ es bisectriz del angulo ADC Saludos! Gracias Kain #13 por el dato ;D

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 8 2009, 05:47 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La solucion es correcta, y entendible, asi que -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 20 2011, 02:12 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kain #13 @ Oct 2 2009, 10:34 PM) $TEX: Sean $M,N$ puntos en los lados $\overline{AB}, \overline{BC}$ de un paralelogramo $ABCD$, tales que $\overline{AM}=\overline{CN}$. Considere $Q=\overline{AN}\cap \overline{CM}$. <br /><br />Demuestre que $\overline {DQ}$ es la bisectriz del $\measuredangle ADC$$ No sabia que este problema estaba aqui $TEX: Sea $E$, la interseccion de las rectas $CM$ y $AD$. Notemos que como $CD\|\|AB$, entonces los triangulos $AEM$ y $DEC$ son semejantes, analogamente, como $AD\|\|BC$, entonces los triangulos $AEQ$ y $CQN$, son semejantes.$ $TEX: De la primera semejanza obtenemos:$ $TEX: $AE= \dfrac{AM \cdot DE}{CD}$$ $TEX: De la segunda semejanza y por el echo anterior obtenemos:$ $TEX: $\dfrac{EQ}{CQ}= \dfrac{AE}{CN}=\dfrac{AM \cdot DE}{CD \cdot CN}=\dfrac{DE}{CD}$$ $TEX: Por el teorema reciproco de la bisectriz, queda demostrado lo pedido.$ Mensaje modificado por Emi_C el Mar 20 2011, 02:18 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

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