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Integral definida

Sephiroth99 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2009, 05:47 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.313 Registrado: 28-June 07 Miembro Nº: 7.123 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Evalúe $TEX: $$\int_{0}^{1}{\frac{\ln (x)}{\sqrt{x-x^{2}}}dx}$$$ -------------------- Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2009, 10:19 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Tengamos en cuenta los siguientes hechos: $TEX: $$\int_{0}^{\infty }{\frac{dt}{t^{2}+y}}=\frac{\pi }{2\sqrt{y}}$$$ y $TEX: $$\int_{0}^{\infty }{\frac{dt}{1+t^{2}}}=\frac{\pi }{2}.$$$ En tu integral ponemos $TEX: $x\longmapsto e^{-x}$$ y queda $TEX: $$-\int_{0}^{\infty }{\frac{x}{\sqrt{e^{x}-1}}\,dx},$$$ y ahora hacemos $TEX: $$e^{x}-1=\frac{1}{t^{2}},$$$ tal que $TEX: $$dx=-\frac{2}{t\left( 1+t^{2} \right)}\,dt,$$$ luego $TEX: \begin{eqnarray}<br /> \int_{0}^{1}{\frac{\ln x}{\sqrt{x-x^{2}}}\,dx}&=&-2\int_{0}^{\infty }{\frac{\ln \left( 1+\dfrac{1}{t^{2}} \right)}{1+t^{2} }\,dt} \\ <br /> & =&-2\int_{0}^{\infty }{\int_{0}^{1}{\frac{dy\,dt}{\left( t^{2}+y \right)\left( 1+t^{2} \right)}}} \\ <br /> & =&-2\int_{0}^{1}{\int_{0}^{\infty }{\frac{1}{1-y}\left( \frac{1}{t^{2}+y}-\frac{1}{1+t^{2}} \right)\,dt}\,dy} \\ <br /> & =&-\pi \int_{0}^{1}{\frac{1-\sqrt{y}}{\sqrt{y}(1-y)}\,dy},<br />\end{eqnarray}$ ahora ponemos $TEX: $y=z^2,$$ y así $TEX: $$\int_{0}^{1}{\frac{\ln x}{\sqrt{x-x^{2}}}\,dx}=-2\pi \int_{0}^{1}{\frac{1-z}{1-z^{2}}\,dz}=-2\pi \ln 2=-\pi \ln 4.$$$

Gaston Burrull	Sep 20 2009, 03:32 PM Publicado: #3
Invitado	$TEX: \begin{align}<br />I&=\int_{0}^{1} \frac{\ln{x}}{\sqrt{x-x^2}}\, dx=2\int_{0}^{1} \frac{\ln{x}}{\sqrt{4x-4x^2}}\, dx=2\int_{0}^{1} \frac{\ln{x}}{\sqrt{1-(2x-1)^2}}\, dx\overbrace{=}^{u=2x-1} \int_{-1}^{1} \frac{\ln{\left(\frac{u+1}{2}\right)}}{\sqrt{1-u^2}}\, du\\<br />&=\underbrace{\int_{-1}^{1} \frac{\ln{(u+1)}}{\sqrt{1-u^2}}\, du}_{I_1}-\ln{2}\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\, dt \overbrace{=}^{t=\operatorname{sen}\phi} I_1-\ln{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, d\phi=I_1-\pi\ln{2}.<br />\end{align}$ $TEX: \begin{align}<br />I_1&=\int_{-1}^{1} \frac{\ln{(u+1)}}{\sqrt{1-u^2}}\, du=\int_{-1}^{1} \frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n}u^{n}}}{\sqrt{1-u^2}}\, du=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\int_{-1}^{1}\frac{u^n}{\sqrt{1-u^2}}\, du\\<br />&\overbrace{=}^{u=\operatorname{sen}\varphi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}^n\varphi\, d\varphi=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}\underbrace{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}^{2n-1}\varphi\, d\varphi}_{0}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}^{2n}\varphi\, d\varphi\\<br />&=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}^{2n}\varphi\, d\varphi=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cdot\frac{\pi}{2}\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}=-\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n!}\prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2}\\<br />&=-\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cdot\frac{(-1)^{n+1}}{n!}\prod_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}-k\right)=\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\cdot(2n-1)\cdot\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{2}-k\right)}{n!}\\<br />&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\cdot(2n-1)\cdot\frac{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}-1\right)\cdots\left(\frac{1}{2}-n+1\right)}{n!}=\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\dbinom{\frac{1}{2}}{n}\cdot(2n-1)\\<br />&=\frac{\pi}{2}\left[2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\dbinom{\frac{1}{2}}{n}}_{S_1}-\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\dbinom{\frac{1}{2}}{n}}_{S_2}\right]=\frac{\pi}{2}(2S_1-S_2).<br />\end{align}$ $TEX: \begin{align}<br />\text{Sea } &f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \dbinom{\frac{1}{2}}{n}x^n=-1+\sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{\frac{1}{2}}{n}x^n\Longrightarrow f(-1)=S_1=-1+\sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{\frac{1}{2}}{n}(-1)^n\\<br />&\therefore S_1=-1+\sqrt{1-1}=-1.<br />\end{align}$ $TEX: \begin{align}<br />\text{Sea } &g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\dbinom{\frac{1}{2}}{n}}{n}x^n\text{ entonces } g(0)=0,\ g'(x)=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty} \dbinom{\frac{1}{2}}{n}x^{n}=\frac{1}{x}(\sqrt{1+x}-1).\ \text{Entonces,}\\<br />g(x)&=\int \frac{1}{x}\, dx+\int \frac{\sqrt{1+x}}{x}\, dx\overbrace{=}^{u=\sqrt{1+x}} \int \frac{1}{x}\, dx+2\int \frac{u^2+1-1}{u^2-1}\, du\\<br />&=\int \frac{1}{x}\, dx+2\int \, du+\int \frac{1}{u-1}\, du-\int \frac{1}{u+1}\, du=2u+\ln\|x\|+\ln\|u-1\|-\ln\|u+1\|+C\\<br />&=2\sqrt{x+1}+\ln\left\|\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\right\|-\ln\|\sqrt{x+1}+1\|+C.\ \text{Pero }g(0)=0,\\<br />\therefore\ &g(0)=0=\lim_{x\to 0}\left[ 2\sqrt{x+1}+\ln\left\|\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\right\|-\ln\|\sqrt{x+1}+1\|+C\right]\\<br />0&=C+2-\ln 2+\ln\left\|\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\right\|\overbrace{=}^{L'H} C+2-\ln 2+\ln\left\|\lim_{x\to 0}\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\right\|=C+2-2\ln 2\\<br />&\Longrightarrow C=2\ln 2-2 \therefore g(x)= 2\sqrt{x+1}+\ln\left\|\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\right\|-\ln\|\sqrt{x+1}+1\|+2\ln 2-2.\\<br />\therefore\ &g(-1)=S_2=2\ln 2-2.\\<br />\therefore\ &I=I_1-\pi\ln 2=\frac{\pi}{2}(2S_1-S_2)-\pi\ln 2=\frac{\pi}{2}(-2+2-2\ln2)-\pi\ln 2=-2\pi\ln 2.\\<br />\therefore\ &I=\int_{0}^{1} \frac{\ln{x}}{\sqrt{x-x^2}}\, dx=-\pi\ln 4.<br />\end{align}$ Ufff... qué largo .

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 20 2009, 04:26 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Buenas soluciones . La mía: Primero, consideraremos que $TEX: $\Psi \left( {\tfrac{1}{2}} \right) = - \gamma - 2\ln 2$$ , donde, $TEX: $\Psi$$ es la función Digamma. Ahora, notemos que $TEX: $$I = \int_0^1 {\frac{{\ln xdx}}{{\sqrt {x - x^2 } }}} = \int_0^1 {\ln \left( x \right)} x^{\frac{1}<br />{2} - 1} \left( {1 - x} \right)^{\frac{1}<br />{2} - 1} dx$$$ . Consideremos $TEX: $$I(\lambda ) = \int_0^1 {x^{\lambda - 1} } \left( {1 - x} \right)^{\frac{1}{2} - 1} dx = \beta \left( {\lambda ,\tfrac{1}<br />{2}} \right)$$$ $TEX: $$\implies I'(\lambda ) = \int_0^1 {\ln xx^{\lambda - 1} } \left( {1 - x} \right)^{\frac{1}{2} - 1} dx = \sqrt \pi \frac{d}<br />{{dx}}\left\{ {\frac{{\Gamma \left( \lambda \right)}}<br />{{\Gamma \left( {\lambda + \tfrac{1}<br />{2}} \right)}}} \right\}$$$ $TEX: \[<br /> = \sqrt \pi \frac{{\Gamma '\left( \lambda \right)\Gamma \left( {\lambda + \tfrac{1}<br />{2}} \right) - \Gamma \left( \lambda \right)\Gamma '\left( {\lambda + \tfrac{1}<br />{2}} \right)}}<br />{{\Gamma ^2 \left( {\lambda + \tfrac{1}<br />{2}} \right)}}<br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> = \sqrt \pi \frac{{\Gamma \left( \lambda \right)\Psi \left( \lambda \right)\Gamma \left( {\lambda + \tfrac{1}<br />{2}} \right) - \Gamma \left( \lambda \right)\Gamma \left( {\lambda + \tfrac{1}<br />{2}} \right)\Psi \left( {\lambda + \tfrac{1}<br />{2}} \right)}}<br />{{\Gamma ^2 \left( {\lambda + \tfrac{1}<br />{2}} \right)}} = \sqrt \pi \frac{{\Gamma \left( \lambda \right)\left( {\Psi \left( \lambda \right) - \Psi \left( {\lambda + \tfrac{1}<br />{2}} \right)} \right)}}<br />{{\Gamma \left( {\lambda + \tfrac{1}<br />{2}} \right)}}<br />\]<br />$ Haciendo $TEX: $\lambda = \tfrac{1}{2}$$ vemos que $TEX: $$\int_0^1 {\frac{{\ln xdx}}<br />{{\sqrt {x - x^2 } }}} = \pi \left( {\Psi \left( {\tfrac{1}<br />{2}} \right) - \Psi \left( 1 \right)} \right) = \pi \left( {\Psi \left( {\tfrac{1}<br />{2}} \right) + \gamma } \right) = - \pi \ln 4$$$ Como se quería. -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

Sephiroth99 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 20 2009, 04:40 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.313 Registrado: 28-June 07 Miembro Nº: 7.123 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Muy buenas soluciones Con gusto se pasa a resueltos -------------------- Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 20 2009, 05:09 PM Publicado: #6
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	acabo de compartir este problemita en otro lado y debo aceptar que tiene una solución bastante rápida al poner $TEX: $x=\operatorname{sen}^2t,$$ y el resultado que obtendrán es conocido. (Si no lo conocen, pruébenlo, es interesante.)

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