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> Más de curvas
Laðeralus
mensaje Sep 14 2009, 11:56 PM
Publicado: #1


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TEX: <br /><br />Hallar $a$ y $b$, de modo que las curvas<br />\[ y = ax(b-x) \hspace{1cm} y = \frac{x}{x+2} \]<br /><br />se corten en un solo punto, y que en ese mismo punto tengan en común la misma curvatura y recta tangente.<br /><br />
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Sephiroth99
mensaje Jan 15 2010, 12:04 AM
Publicado: #2


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TEX: $$\overrightarrow{r}_{1}\left( t \right)=\left( t,abt-at^{2} \right),\overrightarrow{r}_{2}\left( t \right)=\left( t,\frac{t}{t+2} \right).$$

TEX: $$at(b-t)=\frac{t}{t+2}\to t_{0}=0$$

TEX: $$Aplicando\text{ }condiciones$$

TEX: $$\overrightarrow{r}_{1}\left( t_{0} \right)+\lambda \overrightarrow{r}_{1}'\left( t_{0} \right)=\overrightarrow{r}_{2}\left( t_{0} \right)+h\overrightarrow{r}_{2}'\left( t_{0} \right)$$

TEX: $$\left( 0,0 \right)+\lambda \left( 1,ab \right)=\left( 0,0 \right)+h\left( 1,\frac{1}{2} \right)\to ab=\frac{1}{2}\left( * \right)$$

TEX: $$\kappa _{\overrightarrow{r}_{1}}\left( t_{0} \right)=\kappa _{\overrightarrow{r}_{2}}\left( t_{0} \right)\to \frac{\left\| \overrightarrow{r}_{1}'\left( 0 \right)\times \overrightarrow{r}_{1}''\left( 0 \right) \right\|}{\left\| \overrightarrow{r}_{1}'\left( 0 \right) \right\|^{3}}=\frac{\left\| \overrightarrow{r}_{2}'\left( 0 \right)\times \overrightarrow{r}_{2}''\left( 0 \right) \right\|}{\left\| \overrightarrow{r}_{2}'\left( 0 \right) \right\|^{3}}$$

TEX: $$Usando\text{ }\left( * \right)\text{ }\frac{2a}{\left( 1+a^{2}b^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{2\left( 1+\frac{1}{4} \right)^{\frac{3}{2}}}\to a=\frac{1}{4}\to b=2$$


--------------------
Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro
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Laðeralus
mensaje Jan 17 2010, 04:59 PM
Publicado: #3


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