 Curva tangente |
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 Sep 14 2009, 11:51 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: <br /><br />Pruebe que la curva<br />\[ x = \ln(t) \hspace{2mm} y = t \ln(t) \hspace{2mm} z=t \]<br /><br />es tangente a la superficie<br />\[ xz^{2} - yz + \cos(xy) = 1 \]<br /><br />en el punto $P=(0,0,1)$<br /><br />](./tex/68634840c3393c9149ca31522ef90967.png)
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Jan 16 2010, 12:17 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
![TEX: \noindent Sea la curva<br />\[\vec r(t)=\left(\log t,t\log t,t\right)\Rightarrow \vec T(t)=\left(\frac{1}{t},\log t+1,1\right)\Rightarrow \vec T(1)=\left(1,1,1\right).\]<br />Dejemos eso pendiente. Ahora, consideremos el campo escalar<br />\[F(x,y,z)=xz^2-yz+\cos\left(xy\right)-1.\]<br />Como<br />\[\left.\frac{\partial F}{\partial x}\right|_{(0,0,1)}=\left.z^2-y\sin \left(xy\right)\right|_{(0,0,1)}=1\not= 0,\]<br />TFImp dice que la ecuación $F(x,y,z)=0$ admite a $x=x(y,z)$ en una vecindad de $(1,1,1)$. Calculamos<br />\[<br />\frac{\partial x}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial x}}<br />=\frac{z+x\sin \left(xy\right)}{z^2-y\sin \left(xy\right)}<br />\qquad ; \qquad <br />\frac{\partial x}{\partial z}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial z}}{\frac{\partial F}{\partial x}}<br />=\frac{-2xz+y}{z^2-y\sin \left(xy\right)},<br />\]<br />y sigue que<br />\[\left.\frac{\partial x}{\partial y}\right|_{(1,1,1)}=1\qquad ; \qquad \left.\frac{\partial x}{\partial z}\right|_{(1,1,1)}=0.\]<br />Luego, el vector normal al a superficie en $(1,1,1)$ está dado por<br />\[\vec n(1,1,1) = \left(-1,\frac{\partial x}{\partial y},\frac{\partial x}{\partial z}\right)=\left(-1,1,0\right).\]<br />Finalmente, como <br />\[\vec T(1)\cdot \vec n (1,1,1)=(1,1,1)\cdot (-1,1,0)=0,\]<br />se concluye lo pedido. $\square$<br />](./tex/5b7d8fd92a69f3a4eac0e69e39d53c29.png)
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![TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]](./tex/e0e88dba678ca3ead120b088f41191b2.png)
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Jan 17 2010, 04:57 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
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