Dependencia o Independencia Lineal - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Álgebra > Álgebra Lineal

Reply to this topic

Start new topic

Dependencia o Independencia Lineal, y Suma Directa.

Batero16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2009, 02:47 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 99 Registrado: 10-March 08 Desde: Castro - Chiloé Miembro Nº: 16.544 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Me pueden ayudar a resolver este Problema.. Aqui va: $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOraiaacI<br />% cacaWG4bGaaiykaiabg2da9iaaiwdadaahaaWcbeqaaiabeg7aHjaa<br />% dIhaaaGccaGGSaGaam4raiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9iaaiw<br />% dadaahaaWcbeqaaiabek7aIjaadIhaaaGccaGG7aGaeqySdeMaaiil<br />% aiabek7aIjabgIGioprr1ngBPrwtHrhAYaqeguuDJXwAKbstHrhAGq<br />% 1DVbacfeGae8xhHifaaa!56FE!<br />\[<br />F(x) = 5^{\alpha x} ,G(x) = 5^{\beta x} ;\alpha ,\beta \in <br />\]<br />$ REALES ¿Es Linealmente independiente o Linealmente Dependiente? L.I. ó L.D. y Se define : $TEX: \[<br />W_1 + W_2 = \{ v \in V/\exists w_1 \in W_1 , w_2 \in W_2 ;v = w_1 + w_2 \} <br />\]<br />$ Dem que $TEX: \[<br />W_1 + W_2 <br />\]<br />$ es Espacio Vectorial $TEX: <br />\[<br />(W_1 + W_2 \le V)<br />\]$ Mensaje modificado por Batero16 el Sep 14 2009, 05:33 PM

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2009, 05:15 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	para la primera (eso de L.I. o L.D.) deriva nomas -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 15 2009, 01:55 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Primero : Lee las reglas, es solo una consulta por tema!!!! $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaqGqb<br />% GaaeOCaiaabMgacaqGTbGaaeyzaiaabkhacaqGVbGaaeiiaiaabsga<br />% caqGLbGaaeyBaiaab+gacaqGZbGaaeiDaiaabkhacaqGHbGaaeOCai<br />% aabwgacaqGTbGaae4BaiaabohacaqGGaGaaeyCaiaabwhacaqGLbGa<br />% aeiiaiaabsgacaqGHbGaaeizaiaab+gacaqGZbGaaeiiaiaabccaca<br />% WG1bGaaiilaiaadAhacqGHiiIZcaWGxbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqa<br />% aOGaey4kaSIaam4vamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaabYcacaqGGa<br />% Gaaeyzaiaab6gacaqG0bGaae4Baiaab6gacaqGJbGaaeyzaiaaboha<br />% caqGGaGaamyDaiabgUcaRiaadAhacaqGGaGaaeiDaiaabggacaqGTb<br />% GaaeOyaiaabMgacaqGLbGaaeOBaiaabccacaqGLbGaae4Caiaabsha<br />% caqGHbGaaeiiaiaabggacaqGObGaaeyAaiaab6caaeaacaqGdbGaae<br />% 4Baiaab2gacaqGVbGaaeiiaiaadwhacqGHiiIZcaWGxbWaaSbaaSqa<br />% aiaaigdaaeqaaOGaey4kaSIaam4vamaaBaaaleaacaaIYaaabeaaki<br />% abgkDiElabgoGiKiaadEhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqGHiiIZ<br />% caWGxbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaiilaiaadEhadaWgaaWcba<br />% GaaGOmaaqabaGccqGHiiIZcaWGxbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGa<br />% aiOoaiaadwhacqGH9aqpcaWG3bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaey<br />% 4kaSIaam4DamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaabccacaqG7aGaaeii<br />% aiaabshacaqGHbGaaeyBaiaabkgacaqGPbGaaeyzaiaab6gacaqGGa<br />% GaaeOoaiaabccacaWG2bGaeyicI4Saam4vamaaBaaaleaacaaIXaaa<br />% beaakiabgUcaRiaadEfadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaGccqGHshI3ae<br />% aacqGHdicjcaWG3bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOWaaWbaaSqabeaa<br />% kiadacUHYaIOaaGaeyicI4Saam4vamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaki<br />% aacYcacaWG3bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOWaaWbaaSqabeaakiad<br />% acUHYaIOaaGaeyicI4Saam4vamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaacQ<br />% dacaWG1bGaeyypa0Jaam4DamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakmaaCaaa<br />% leqabaGccWaGGBOmGikaaiabgUcaRiaadEhadaWgaaWcbaGaaGOmaa<br />% qabaGcdaahaaWcbeqaaOGamai4gkdiIcaacaqGGaGaae4oaiaabcca<br />% caqGSbGaaeyDaiaabwgacaqGNbGaae4BaiaabccacaqG6aGaaeiiai<br />% aabccaaeaacaWG1bGaey4kaSIaamODaiabg2da9iaadEhadaWgaaWc<br />% baGaaGymaaqabaGccqGHRaWkcaWG3bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaO<br />% Gaey4kaSIaam4DamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakmaaCaaaleqabaGc<br />% cWaGGBOmGikaaiabgUcaRiaadEhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaGcda<br />% ahaaWcbeqaaOGamai4gkdiIcaacaqGGaGaeyypa0ZaaeWaaeaacaWG<br />% 3bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaey4kaSIaam4DamaaBaaaleaaca<br />% aIXaaabeaakmaaCaaaleqabaGccWaGGBOmGikaaiaabccaaiaawIca<br />% caGLPaaacqGHRaWkdaqadaqaaiaadEhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqaba<br />% GccqGHRaWkcaWG3bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOWaaWbaaSqabeaa<br />% kiadacUHYaIOaaGaaeiiaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaadggacq<br />% GHRaWkcaWGIbGaaeiiaiaabccacaqG7aGaaeiiaiaabccacaqGJbGa<br />% ae4Baiaab6gacaqGGaGaamyyaiabgIGiolaadEfadaWgaaWcbaGaaG<br />% ymaaqabaGccaqGGaGaey4jIKTaamOyaiabgIGiolaadEhadaWgaaWc<br />% baGaaGOmaaqabaaakeaacqGHshI3caWG1bGaey4kaSIaamODaiabgI<br />% GiolaadEfadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqGHRaWkcaWGxbWaaSba<br />% aSqaaiaaikdaaeqaaaGcbaaabaGaaeyqaiaabIgacaqGVbGaaeOCai<br />% aabggacaqGGaGaaeizaiaabggacaqGKbGaae4BaiaabccacaqG1bGa<br />% aeOBaiaabccacaqGLbGaae4CaiaabogacaqGHbGaaeiBaiaabggaca<br />% qGYbGaaeiiaiabeg7aHjaabYcacaqGGaGaae4CaiaabwgacaqGGaGa<br />% aeizaiaabwgacaqGIbGaaeyzaiaabccacaqGJbGaaeyDaiaab2gaca<br />% qGWbGaaeiBaiaabMgacaqGYbGaaeiiaiaabghacaqG1bGaaeyzaiaa<br />% bccacqaHXoqycqGHflY1caWG1bGaeyicI4Saam4vamaaBaaaleaaca<br />% aIXaaabeaakiabgUcaRiaadEfadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaGccaqG<br />% SaGaaeiiaiaabogacaqGVbGaaeOBaiaabccacaqGLbGaaeiBaiaabc<br />% cacaqG2bGaaeyzaiaabogacaqG0bGaae4BaiaabkhacaqGGaGaaeyD<br />% aiaabccacaqGLbGaaeOBaiaabccaaeaacaWGxbWaaSbaaSqaaiaaig<br />% daaeqaaOGaey4kaSIaam4vamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaabYca<br />% caqGGaGaaeyzaiaab6gacaqGGaGaaeyzaiaabAgacaqGLbGaae4yai<br />% aabshacaqGVbGaaeiiaiaabQdacaqGGaGaeqySdeMaeyyXICTaamyD<br />% aiabg2da9iabeg7aHnaabmaabaGaam4DamaaBaaaleaacaaIXaaabe<br />% aakiabgUcaRiaadEhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaaakiaawIcacaGL<br />% PaaacaqGGaGaaeilaiaabccacaqGJbGaae4Baiaab6gacaqGGaGaam<br />% 4DamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiabgIGiolaadEfadaWgaaWcbaGa<br />% aGymaaqabaGccaGGSaGaam4DamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiabgI<br />% GiolaadEfacaqGGaGaaeilaiaabccacaqGHbGaae4CaiaabMgacaqG<br />% 6aGaaeiiaiaadwhacqGH9aqpcqaHXoqycaWG3bWaaSbaaSqaaiaaig<br />% daaeqaaOGaey4kaSIaeqySdeMaam4DamaaBaaaleaacaaIYaaabeaa<br />% kiaabYcaaeaacaqGZbGaaeyzaiaabggacaqGUbGaaeiiaiaadEhada<br />% WgaaWcbaGaaGymaaqabaGcdaahaaWcbeqaaOGamai4gkdiIcaacqGH<br />% 9aqpcqaHXoqycaWG3bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaeyicI4Saam<br />% 4vamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaabccacaqG5bGaaeiiaiaabcca<br />% caWG3bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOWaaWbaaSqabeaakiadacUHYa<br />% IOaaGaeyypa0JaeqySdeMaam4DamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiab<br />% gIGiolaadEfadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaGccqGHshI3cqaHXoqyca<br />% WG1bGaeyypa0Jaam4DamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakmaaCaaaleqa<br />% baGccWaGGBOmGikaaiabgUcaRiaadEhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqaba<br />% GcdaahaaWcbeqaaOGamai4gkdiIcaacqGHshI3cqaHXoqycaWG1bGa<br />% eyicI4Saam4vamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiabgUcaRiaadEfada<br />% WgaaWcbaGaaGOmaaqabaaakeaaaeaacaqGqbGaae4BaiaabkhacaqG<br />% GaGaaeiBaiaab+gacaqGGaGaaeizaiaabwgacaqGTbGaaeyyaiaabo<br />% hacaqGSaGaaeiiaiaabshacaqGHbGaaeOBaiaabshacaqGVbGaaeii<br />% aiaadEfadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaqGGaGaae4yaiaab+gaca<br />% qGTbGaae4BaiaabccacaWGxbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaaeii<br />% aiaab6gacaqGVbGaaeiiaiaabohacaqGVbGaaeOBaiaabccacaqG2b<br />% GaaeyyaiaabogacaqGPbGaae4BaiaabohacaqGSaGaaeiiaiaabgga<br />% caqGZbGaaeyAaiaabccacaqGGaGaam4vamaaBaaaleaacaaIXaaabe<br />% aakiabgUcaRiaadEfadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaGccaqGGaGaae4y<br />% aiaab+gacaqGTbGaae4BaiaabccacaqGLbGaae4CaiaabshacaqGHb<br />% GaaeiiaiaabsgacaqGLbGaaeOzaiaabMgacaqGUbGaaeyAaiaabsga<br />% caqGVbGaaeiiaiaabshacaqGHbGaaeyBaiaabchacaqGVbGaae4yai<br />% aab+gaaeaacaqGSbGaae4BaiaabccacaqGZbGaaeyzaiaabkhacaqG<br />% HbGaaeOlaaqaaaqaaiabgsJiCjaadEfadaWgaaWcbaGaaGymaaqaba<br />% GccqGHRaWkcaWGxbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaeyizImQaamOv<br />% aaqaaiaabofacaqGHbGaaeiBaiaabwhacaqGKbGaae4Baiaabohaaa<br />% aa!3DBB!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Primero demostraremos que dados }}u,v \in W_1 + W_2 {\text{, entonces }}u + v{\text{ tambien esta ahi}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Como }}u \in W_1 + W_2 \Rightarrow \exists w_1 \in W_1 ,w_2 \in W_2 :u = w_1 + w_2 {\text{ ; tambien : }}v \in W_1 + W_2 \Rightarrow \hfill \\<br /> \exists w_1 ^\prime \in W_1 ,w_2 ^\prime \in W_2 :u = w_1 ^\prime + w_2 ^\prime {\text{ ; luego : }} \hfill \\<br /> u + v = w_1 + w_2 + w_1 ^\prime + w_2 ^\prime {\text{ }} = \left( {w_1 + w_1 ^\prime {\text{ }}} \right) + \left( {w_2 + w_2 ^\prime {\text{ }}} \right) = a + b{\text{ ; con }}a \in W_1 {\text{ }} \wedge b \in w_2 \hfill \\<br /> \Rightarrow u + v \in W_1 + W_2 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Ahora dado un escalar }}\alpha {\text{, se debe cumplir que }}\alpha \cdot u \in W_1 + W_2 {\text{, con el vector u en }} \hfill \\<br /> W_1 + W_2 {\text{, en efecto : }}\alpha \cdot u = \alpha \left( {w_1 + w_2 } \right){\text{ }}{\text{, con }}w_1 \in W_1 ,w_2 \in W{\text{ }}{\text{, asi: }}u = \alpha w_1 + \alpha w_2 {\text{,}} \hfill \\<br /> {\text{sean }}w_1 ^\prime = \alpha w_1 \in W_1 {\text{ y }}w_2 ^\prime = \alpha w_2 \in W_2 \Rightarrow \alpha u = w_1 ^\prime + w_2 ^\prime \Rightarrow \alpha u \in W_1 + W_2 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Por lo demas}}{\text{, tanto }}W_1 {\text{ como }}W_2 {\text{ no son vacios}}{\text{, asi }}W_1 + W_2 {\text{ como esta definido tampoco}} \hfill \\<br /> {\text{lo sera}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \therefore W_1 + W_2 \leqslant V \hfill \\<br /> {\text{Saludos}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

Batero16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 15 2009, 11:39 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 99 Registrado: 10-March 08 Desde: Castro - Chiloé Miembro Nº: 16.544 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muchas gracias.. Uchiha Itachi.. perdón por hacer dos consultas en un tema.. no sabia.. nunca volverá a suceder Alguien me puede ayudar con la primera consulta?.. no entiendo como hacerlo. Saludos.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 16 2009, 02:15 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Batero16 @ Sep 15 2009, 11:39 PM) Alguien me puede ayudar con la primera consulta?.. no entiendo como hacerlo. Saludos. ¬¬ CITA(Kaissa @ Sep 14 2009, 05:15 PM) para la primera (eso de L.I. o L.D.) deriva nomas $TEX: $ $\\<br />Supongamos la existencia de $a,b\in\mathbb{R}$ tales que $a\times5^{\alpha x}+b\times5^{\beta x}=0$ (como igualdad de funciones.\\<br />\textbf{derivando} tenemos $a\alpha\ln5(5^{\alpha x})+b\beta\ln5(5^{\beta x})=0$ y evaluamos en $x=0$, obteniendo que $a\times\alpha+b\times\beta=0$.\\<br />Para hallar otra ecuaci\'on derivamos de nuevo la igualdad obtenida y evaluamos en $x=0$.\\<br />$ $\\<br />and so on....$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Mau_map Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2010, 10:27 AM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 247 Registrado: 11-December 08 Miembro Nº: 40.674 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Sep 16 2009, 04:15 PM) ¬¬ Para demostrar la independencia o dependencia lineal no debes asignarle ningun valor a x, puesto que por definición es para todo x. Además, yo creo que dependiendo de los valores que tome $TEX: $\alpha$ y $\beta$$ se podrá juzgar si son LI o LD: $TEX: 1) $\lambda 5^{\alpha x}+\gamma 5^{\beta x}=0$\\ 2) $\lambda \alpha ln(5) 5^{\alpha x}+\gamma \beta ln(5) 5^{\beta x}=0$$ $TEX: Multiplicando la primera ecuacion por $-\alpha ln(5)$ y luego sumandole la segunda queda:\\ \\ $5^{\beta x}ln(5)[\gamma \beta -\gamma \alpha]=0$ Como $5^{\beta x}ln(5)\not= 0$ \\ $\Rightarrow \gamma \beta =\gamma \alpha$$ $TEX: Ahora como $\alpha$ y $\beta$ pueden tomar cualquier valor real, en especial 0, tenemos que $\gamma$ puede ser cualquier real y se seguiría cumpliendo la ultima ecuación, en particular un número distinto de 0, pero si $\gamma \not= 0$, por definición serían linealmente dependientes.$ $TEX: Ahora si $\gamma \not= 0$ sin importar los valores de $\alpha$ y $\beta$ tendríamos la siguiente igualdad: $\gamma \beta =\gamma \alpha \rightarrow \alpha =\beta$. Entonces para dar un ejemplo de un $\lambda$ y un $\gamma$ distintos de 0 cuando $\alpha =\beta$ basta tomar 1 el inverso del otro ($\lambda=-\gamma _1$). \\ \\ Por último si $\alpha$ y $\beta$ fueran diferentes y distintos de 0, la única forma que se cumpla la igualdad $\gamma \beta =\gamma \alpha$ es que $\gamma =0$, y en ese caso obligaría a $\lambda$ ser 0 para cumplir la primera igualdad. Entonces es linealmente independiente si $\alpha \not=\beta \not= 0$$ Ojalá se entienda, saludos!

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2010, 10:48 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	de acuerdo, es para todos, y por tanto EN PARTICULAR (y ese es el truco) se toma x=0 por conveniencia pd: harto viejo el post xd andamos como nosferatu (reviviendo muertos ) -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Mau_map Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2010, 09:03 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 247 Registrado: 11-December 08 Miembro Nº: 40.674 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Apr 8 2010, 12:48 PM) de acuerdo, es para todos, y por tanto EN PARTICULAR (y ese es el truco) se toma x=0 por conveniencia pd: harto viejo el post xd andamos como nosferatu (reviviendo muertos ) jajaja! lo que pasa es q estaba estudiando para el control de lineal XD y me encontré con estos ejercicios. Y si un ejercicio no está cerrado completamente, siempre es bienvenido algún comentario (pienso yo ^^)

« Posterior · Álgebra Lineal · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 18th February 2025 - 05:16 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.