Nivel Tercero y Cuarto Medio Opciones

[Rurouni Kenshin]

Invito a todos a postear los problemas y/o soluciones a los Problemas de esta Olimpiada a la que fuimos invitados todos este año
Y los que no fueron..ojala hagan saber sus interes en participar.
Saludos
PD:Esta super buena idea es gracias a nuestro usuario Animiko

[Animiko]

Ya pos... aqui comenzamos!!

Problema 1:

En una reunión, en la cual todos saludan a todos, se pudo notar que hubo 66 apretones de manos entre hombres y 55 apretones de manos entre mujeres. Calcular el número de apretones de manos entre mujeres y hombres.

Problema 2:

No me acuerdo... algo de abejas... el que se acuerda lo postea

Problema 3:

Pruebe que no existen números enteros x, y y z tal que

x² + y² = 8z + 6
Problema 4:

Un curso entero va a visitar a un hogar de niños y lleva una torta rectangular con crema arriba y a los cuatro costados. Explicar y/o dibujar los cortes que se deben hacer para que a cada uno de los 9 niños del hogar les toque la misma cantidad de crema. (tienen que repartir la torta en 9 partes que tengan la misma cantidad de crema)

Problema 5:

Para un triángulo rectángulo de cateto √1988 encotrar al menos un cateto e hipotenusa de valores enteros.


En general la prueba estaba muy facil... la unica un poco más complicada es la de la torta, y quizas x redacción el problema 2 de las abejas (casi nadie lo entendio bien).... asi q ahi estan propuestos... a resolver se ha dicho!!



PD: borra el post q hice

[Animiko]

como estoy aburrio y nadie responde voy a resolver uno


Problema 1:

Tenemos 66 apretones entre hombres, si n es la cantidad de hombres que hay la formula sería:

n*(n-1)/2 = 66

¿Por qué? porque cada hombre le da la mano una vez a c/u de los otros, menos a él (es por eso el n-1) y si lo contamos por cada uno estaíamos contando cada apretón de manos deos veces ( por eso dividimos en 2)

Resolvemos:

n² - n = 132
n² - n - 132 = 0
(n-12)(n+11) = 0 ==> n= 12 o n= -11

-11 o puede ser porque el nº de personas no puede pertenecer a los nº negativos, por lo tanto los hombres en total son 12

Ahora con las mujeres:

Si m es la cantidad de mujeres y hay 55 apretones de manos entre ellas la cantidad de mujeres es:

m(m-1)/2 =55
m² - m = 110
m² - m - 110 = 0 ==> m= 11 o m=-10

-10 no puede ser por lo mismo que antes por lo tanto el total de mujers es 11

Los apretones de manos por lo tanto son 12*11 = 132

listo

[dex]

Problema 5

Para un triángulo rectángulo de cateto √1988 encontrar al menos un cateto e hipotenusa de valores enteros.

Designamos por "a" y "b" el cateto restante y la hipotenusa
por pitagoras tenemos
se pude escribir como

sabemos que los numeros (b-a)(b+a) son ambos postivos, ya que la hipotenusa de un triangulo rectangulo con respecto a un cateto esta en la relacion en nuestro caso
Ahora bien, nos dicen que encontremos al menos uno
entonces podemos ver que 1988 se puede escribir como










Con esto encontramos valores enteros para el cateto y la hipotenusa, y solo nos pedian encontrar al menos uno


Saludos

Dex!

[dex]

Problema 3:

Pruebe que no existen números enteros x, y y z tal que

x² + y² = 8z + 6


Bueno, para resolver ese problema ocuparemos congruencia de modulo, especificamente en modulo 8 ( este problema "canta" ocupar la congruencia en modulo 8, ya veremos porque)

Si tenemos una igualdad de numeros naturales con un modulo de congruencia especifica, ambos lados de la ecuacion tienen el mismo valor de congruencia ( si tenemos que a+b=c (mod n) => a+b=k (mod n) y c=k (mod n))

Podemos verificar facilemente que el lado derecho de la ecuacion cumple lo siguiente:


con esto determinaremos la siguiente hipotesis "si existen enteros x,y,z que satisfasen la ecuacion, entonces debe ser congruente a 6 en modulo 8"
Podemos sacar de esta hipotesis, que si logramos demostrar que entonces no existen esos enteros, y demostraremos el enunciado.

Ahora para hacerlo veremos todas las posibles congruencias de un numero en mod 8
sea X o Y el numero sus posibles congruencias son: (a la derecha estan las congruencias elevadas al cuadrado)










Ahora podemos ver que todo numero natural al cuadrado es congruente con 0,1 y 4 en modulo ocho
Lo que implica, que si vemos la suma de los cuadrados de dos numeros naturales pueden tener como congruencia las siguientes combinaciones
0+0=0 ; 0+1 o 1+0 = 1 ; 0+4 o 4+0 = 4 ; 1+1 = 2 ; 1+4 o 4+1 = 5 ; 4+4=8 ()
Podemos decir que las posibilidades de congruencia son las siguiente






Como podemos apreciar ninguna combinacion es cogruente con 6 en modulo 8, lo que nos lleva a la contradiccion de nuestra hipotesis, lo que conlleva a la afirmacion de que no existen x,y,z naturales que cumplen la ecuacion



Saludos

Dex