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~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2009, 10:07 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: P058. Determinar el número de cinco cifras que es igual a 45 veces el producto de sus cifras.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2009, 04:48 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: El desarrollo de este ejercicio es algo largo (me tomo mucho tiempo pensarlo y resolverlo)$ $TEX: Sea N el numero abcde con cifras "C":a,b,c,d,e con $\displaystyle 0\le C\le 9$ tal que:$ $TEX: $\displaystyle N=10000a +1000b+100c+10d+e=45abcde$$ $TEX: Notar lo siguiente: si alguna de las cifras es par, entonces la parte derecha de la ecuacion es divisible por 10, esto hace que N sea multiplo de 10 y por lo tanto, la cifra de las unidades es cero, pero esto haria que el producto de las cifras sea cero y por ende, N sea cero. Luego todas las cifras deben ser impares.$ $TEX: Como N es divisible por 5, entonces la cifra de las unidades es 5 o 0, pero como a,b,c,d,e son impares, se tiene que e=5. Reemplazamos en la ecuacion:$ $TEX: $\displaystyle N=10000a +1000b+100c+10d+5=45abcd\cdot 5$ Simplificamos por 5$ $TEX: $\displaystyle M=2000a+200b+20c+2d+1=45abcd$ Despejamos 2d+1:$ $TEX: $\displaystyle 2d+1=45abcd-2000a-200b-20c=5\cdot (9abcd-400a-40b-4c)$ Tenemos que 2d+1 es divisible por 5, pero como d es cifra impar, entonces $\displaystyle 3\le 2d+1\le 19$$ $TEX: Los multiplos impares de 5 menores que 19 son 5 y 15. Si 2d+1=5 entonces d=2 que es par, por lo tanto 2d+1=15 y tenemos que d=7. Despejamos en M:$ $TEX: $\displaystyle M=2000a+200b+20c+15=45abc\cdot 7$ Simplificamos por 5$ $TEX: $\displaystyle P=400a+40b+4c+3=63abc$ Ahora volvamos un momento a N:$ $TEX: Tenemos que N es divisible por 9, es decir: $\displaystyle \frac{10000a +1000b+100c+10d+e}{9}=\frac{9999a +999b+99c+9d+a+b+c+d+e}{9}=$ es entero. Entonces $F=\frac{a+b+c+d+e}{9}$ tambien lo es.$ $TEX: Ahora como teniamos d=7 y e=5 reemplazamos en F:$ $TEX: $\displaystyle F=\frac{a+b+c+12}{9}$ Tenemos que a+b+c+12 es impar, menor que 39 y mayor que 15. El unico multiplo impar de 9 en este rango es el 27. Luego a+b+c+d+12=27 y por lo tanto: a+b+c=15$ $TEX: Tomamos c=15-a-b y reemplazamos en P: (solo la parte izquierda)$ $TEX: $\displaystyle P=400a+40b+4(15-a-b)+3=396a+36b+63=63abc$ Simplificamos por 9$ $TEX: $\displaystyle Q=44a+4b+7=7abc$ Tenemos que Q es divisible por 7:$ $TEX: Es entero: $\displaystyle \frac{44a+4b+7}{7}=6a+1+\frac{2a+4b}{7}=6a+1+2\cdot \frac{a+2b}{7}$$ $TEX: Tenemos que $\displaystyle B=\frac{a+2b}{7}$ es entero, impar y menor que 27 (recordemos que a y b son digitos). Los multiplos impares de 7 que son menores que 27 son: 7 y 21. Dividamos en 2 casos:$ $TEX: Caso 1: a+2b=7 Entonces:$ $TEX: Si le restamos a+b+c=15 tenemos que: b-c=-8 y cambiando signo: c-b=8. Luego c=b+8. De esto concluimos que b=1 y c=9 (La maxima diferencia entre dos digitos impares) y luego a=5. El supuesto numero N=abcde seria 51975, pero $\displaystyle 45\cdot 5\cdot 1\cdot 9\cdot 7\cdot 5=70875, lo cual no corresponde.$$ $TEX: Caso 2: a+2b=21 Entonces:$ $TEX: Como desechamos el primer caso, tenemos que a+2b si es 21. Luego 2a+4b=42, y entonces 4b=42-2a. Reemplazamos 4b en Q:$ $TEX: Q=44a+42-2a+7=42a+49=7abc. Simplificamos por 7$ $TEX: R=6a+7=abc Tenemos que R es divisible por a:$ $TEX: $\displaystyle \frac{6a+7}{a}=6+\frac{7}{a}$ Entonces $\frac{7}{a}$ es entero, lo que nos lleva a dos posibilidades: a=1 o a=7. Si a=1, entonces como a+2b=21 se tiene que 2b=20 y b=10, pero b es digito, luego a debe valer 7 (a=7).$ $TEX: Con esto por fin tenemos que 7+2b=21, entonces 2b=14 y tenemos que b=7. Para obtener c, tenemos que 7+7+c=15 y por lo tanto c=1.$ $TEX: Luego el numero buscado N tal que es 45 veces el producto de sus cifras es 77175.$ $TEX: Y para corroborar: $\displaystyle 45\cdot 7\cdot 7\cdot 1\cdot 7\cdot 5=77175$$ $TEX: Les agradezco a quienes se tomen el tiempo de leer mi largo desarrollo. Saludos.$ -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

fabiannx15 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2009, 07:54 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.169 Registrado: 11-June 08 Desde: rancagua Miembro Nº: 26.922 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(OckUC @ Sep 18 2009, 06:48 PM) $TEX: El desarrollo de este ejercicio es algo largo (me tomo mucho tiempo pensarlo y resolverlo)$ $TEX: Sea N el numero abcde con cifras "C":a,b,c,d,e con $\displaystyle 0\le C\le 9$ tal que:$ $TEX: $\displaystyle N=10000a +1000b+100c+10d+e=45abcde$$ $TEX: Notar lo siguiente: si alguna de las cifras es par, entonces la parte derecha de la ecuacion es divisible por 10, esto hace que N sea multiplo de 10 y por lo tanto, la cifra de las unidades es cero, pero esto haria que el producto de las cifras sea cero y por ende, N sea cero. Luego todas las cifras deben ser impares.$ $TEX: Como N es divisible por 5, entonces la cifra de las unidades es 5 o 0, pero como a,b,c,d,e son impares, se tiene que e=5. Reemplazamos en la ecuacion:$ $TEX: $\displaystyle N=10000a +1000b+100c+10d+5=45abcd\cdot 5$ Simplificamos por 5$ $TEX: $\displaystyle M=2000a+200b+20c+2d+1=45abcd$ Despejamos 2d+1:$ $TEX: $\displaystyle 2d+1=45abcd-2000a-200b-20c=5\cdot (9abcd-400a-40b-4c)$ Tenemos que 2d+1 es divisible por 5, pero como d es cifra impar, entonces $\displaystyle 3\le 2d+1\le 19$$ $TEX: Los multiplos impares de 5 menores que 19 son 5 y 15. Si 2d+1=5 entonces d=2 que es par, por lo tanto 2d+1=15 y tenemos que d=7. Despejamos en M:$ $TEX: $\displaystyle M=2000a+200b+20c+15=45abc\cdot 7$ Simplificamos por 5$ $TEX: $\displaystyle P=400a+40b+4c+3=63abc$ Ahora volvamos un momento a N:$ $TEX: Tenemos que N es divisible por 9, es decir: $\displaystyle \frac{10000a +1000b+100c+10d+e}{9}=\frac{9999a +999b+99c+9d+a+b+c+d+e}{9}=$ es entero. Entonces $F=\frac{a+b+c+d+e}{9}$ tambien lo es.$ $TEX: Ahora como teniamos d=7 y e=5 reemplazamos en F:$ $TEX: $\displaystyle F=\frac{a+b+c+12}{9}$ Tenemos que a+b+c+12 es impar, menor que 39 y mayor que 15. El unico multiplo impar de 9 en este rango es el 27. Luego a+b+c+d+12=27 y por lo tanto: a+b+c=15$ $TEX: Tomamos c=15-a-b y reemplazamos en P: (solo la parte izquierda)$ $TEX: $\displaystyle P=400a+40b+4(15-a-b)+3=396a+36b+63=63abc$ Simplificamos por 9$ $TEX: $\displaystyle Q=44a+4b+7=7abc$ Tenemos que Q es divisible por 7:$ $TEX: Es entero: $\displaystyle \frac{44a+4b+7}{7}=6a+1+\frac{2a+4b}{7}=6a+1+2\cdot \frac{a+2b}{7}$$ $TEX: Tenemos que $\displaystyle B=\frac{a+2b}{7}$ es entero, impar y menor que 27 (recordemos que a y b son digitos). Los multiplos impares de 7 que son menores que 27 son: 7 y 21. Dividamos en 2 casos:$ $TEX: Caso 1: a+2b=7 Entonces:$ $TEX: Si le restamos a+b+c=15 tenemos que: b-c=-8 y cambiando signo: c-b=8. Luego c=b+8. De esto concluimos que b=1 y c=9 (La maxima diferencia entre dos digitos impares) y luego a=5. El supuesto numero N=abcde seria 51975, pero $\displaystyle 45\cdot 5\cdot 1\cdot 9\cdot 7\cdot 5=70875, lo cual no corresponde.$$ $TEX: Caso 2: a+2b=21 Entonces:$ $TEX: Como desechamos el primer caso, tenemos que a+2b si es 21. Luego 2a+4b=42, y entonces 4b=42-2a. Reemplazamos 4b en Q:$ $TEX: Q=44a+42-2a+7=42a+49=7abc. Simplificamos por 7$ $TEX: R=6a+7=abc Tenemos que R es divisible por a:$ $TEX: $\displaystyle \frac{6a+7}{a}=6+\frac{7}{a}$ Entonces $\frac{7}{a}$ es entero, lo que nos lleva a dos posibilidades: a=1 o a=7. Si a=1, entonces como a+2b=21 se tiene que 2b=20 y b=10, pero b es digito, luego a debe valer 7 (a=7).$ $TEX: Con esto por fin tenemos que 7+2b=21, entonces 2b=14 y tenemos que b=7. Para obtener c, tenemos que 7+7+c=15 y por lo tanto c=1.$ $TEX: Luego el numero buscado N tal que es 45 veces el producto de sus cifras es 77175.$ $TEX: Y para corroborar: $\displaystyle 45\cdot 7\cdot 7\cdot 1\cdot 7\cdot 5=77175$$ $TEX: Les agradezco a quienes se tomen el tiempo de leer mi largo desarrollo. Saludos.$ -------------------- Richard Fabian Jerez Ex alumno del Liceo Oscar Castro 4ºL matemático Estudiante Ingeniería Civil Mecánica USM ¿Necesitas ayuda para la psu y no tienes dinero?: Agrega a logratus850@hotmail.com y comienza a preguntar! Somos un grupo de universitarios dispuestos a ayudarte de manera gratuita para que logres tus sueños, todos tuvimos como promedio más de 800 puntos en la PSU. Team PSU 2010!! Únete! [color="#000080"][/color]

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2009, 11:05 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	felicitaciones OCKUC..yo digo q aresueltos! -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

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