P020 Opciones

[~Fatal_Collapse~]

P020. Determinar el número de cuartetos (x, y, z, w) de enteros que satisfagan x + y + z + w = 100, x ≥ 30, y > 21, z ≥ 1, w ≥ 1.

[Kaissa]

no lo hare en latex porque es un fastidio, sobretodo este ejercicio xd


fijemos los valores de x e y como los maximos, osea x=30 e y=22.
notamos que hay exactamente 47 pares ordenados que satisfacen la igualdad, a saber (1,47), (2,46),....,(46,2) y (47,1).

boservemos que cada vez que agregamos 1 al valor fijo de y, la cantidad de pares ordenados (z,w) disminuye en 1 hasta llegar justamente a 1 cuando y=67.

Lo anterior permite concluir que cuando x=30 hay 1+2+3+...+46+47 ternas (y,z,w) cumpliendo los requerimientos del enunciado.

Cada vez que aumentamos en 1 el valor fijo de x, y comenzamos a analizar desde y=21 las posibilidades, vemos que ellas decrecen en la misma forma que antes, solo que ahora serán 1+2+3+...+45+46, luego 1+2+3+...+44+45 y así sucesivamente.

Finalmente la cantidad de cuaternas ordenadas es la siguiente sumita:


(1)+(1+2)+(1+2+3)+...(1+2+3+...+46)+(1+2+3+...+47).


Inventemonos un metodo para sumarlas:



Hay 47 parentesis, y si completamos los sumandos que le faltan a cada uno y sumamos hacia abajo veremos que el resultado es


47(1+2+3+...+46+47)-(2+3+4+...+45+46)=47(1+2+3+...+46+47)-(1+2+3+4+...+45+46+47)=
=46(1+2+3+...+46+47)-1-47=47X24X47-48


espero este correcto =)


EDIT

Mensaje modificado por Kaissa el Feb 7 2010, 08:33 PM

[Newtype]

no lo hare en latex porque es un fastidio, sobretodo este ejercicio xd
fijemos los valores de x e y como los maximos, osea x=30 e y=21.
notamos que hay exactamente 48 pares ordenados que satisfacen la igualdad, a saber (1,48), (2,47),....,(47,2) y (48,1).

boservemos que cada vez que agregamos 1 al valor fijo de y, la cantidad de pares ordenados (z,w) disminuye en 1 hasta llegar justamente a 1 cuando y=68.

Lo anterior permite concluir que cuando x=30 hay 1+2+3+...+47+48 ternas (y,z,w) cumpliendo los requerimientos del enunciado.

Cada vez que aumentamos en 1 el valor fijo de x, y comenzamos a analizar desde y=21 las posibilidades, vemos que ellas decrecen en la misma forma que antes, solo que ahora serán 1+2+3+...+46+47, luego 1+2+3+...+45+46 y así sucesivamente.

Finalmente la cantidad de cuaternas ordenadas es la siguiente sumita:
(1)+(1+2)+(1+2+3)+...(1+2+3+...+47)+(1+2+3+...+48).
Inventemonos un metodo para sumarlas:
Hay 48 parentesis, y si completamos los sumandos que le faltan a cada uno y sumamos hacia abajo veremos que el resultado es
48(1+2+3+...+47+48)-(2+3+4+...+46+47)=48(1+2+3+...+47+48)-(1+2+3+4+...+46+47+48)=
=47(1+2+3+...+47+48)-1-48=47X24X49-49=49X(47X24-1)
espero este correcto =)

a pesar de que tu razonamiento parece ir por buen camino, hay un error, por lo menos en la parte en negrita, si te fijas debia ser mayor que 21, no mayor o igual, y eso vario tu posterior resultado
PD: me acuerdo que en su moemnto lo aborde con combinatoria, asi que interesante ver una solucion diferente

[Kaissa]

edite =) ahora si?