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~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2009, 10:54 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: P019. El producto de seis números enteros positivos consecutivos siempre es múltiplo de:$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2009, 11:26 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Tomando el caso particular: 6!=$\displaystyle 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720$$ $TEX: Hay que demostrar que para cualquier producto de 6 enteros positivos $\displaystyle \frac{n!}{(n-6)!}$, se tiene que su resultado es divisible por 720$ $TEX: Partiendo de n=6(para que sea válido el factorial):$\displaystyle \frac{6!}{0!}=720$ Se cumple para n=6.<br />Luego supondremos la hipótesis de inducción n=k$ $TEX: Hay que demostrar para n=k+1: $\displaystyle \frac{(k+1)!}{(k-5)!}$<br /><br />$\displaystyle \frac{(k+1)!}{(k-5)!}=\frac{k!}{(k-5)!}\cdot(k+1)=\frac{k!}{(k-6)!}\cdot\frac{(k+1)}{k-5}=P$$ $TEX: Como teniamos que la hipotesis de induccion era divisible por 720, el producto P es divisible por 720, luego cualquier producto de 6 enteros positivos consecutivos es divisble por 720$ Por cualquier error me corrigen. Saludos. Mensaje modificado por OckUC el Sep 13 2009, 11:27 PM -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2009, 11:34 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	Perfecto, respuesta correcta no se me habia ocurrido verlo por inspeccion simplemente vi que 123456= 720 y si saco el 1 y pongo el 7 igual es multiplo de 720, si saco en 2 y pongo un 8 estoy agregando 24 por lo que el2 sigue ahji y siempre se ucmplia, por lo tanto, me gusto verlo demostrado por induccion -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2009, 11:37 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Muchas gracias. Para poder resolver el ejercicio, tenía que tomar el peor de los casos o el caso particular(factorial de 6), luego tuve que recurrir a la inducción para demostrar la parte del "siempre es multiplo de..." del enunciado. -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

sdfdsv Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2009, 11:56 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 445 Registrado: 29-April 07 Miembro Nº: 5.510 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	No faltaria demostrar que $TEX: $\dfrac{k+1}{k-5}$$ es entero?

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2009, 12:09 AM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: No lo creo, porque: <br /><br />$\displaystyle P=\frac{(k+1)!}{(k-5)!}=\frac{(k-5)! \cdot (k-4) \cdot (k-3) \cdot (k-2) \cdot (k-1) \cdot k \cdot (k+1)}{(k-5)!}=(k-4) \cdot (k-3) \cdot (k-2) \cdot (k-1) \cdot k \cdot (k+1)$$ $TEX: P es entero porque es el producto de enteros consecutivos (propiedad de clausura)$ $TEX: Luego al descomponer P, tenemos producto de enteros consecutivos (por la factorial). Entonces da lo mismo si $\displaystyle \frac{k+1}{k-5}$ es entero o no, porque como diije antes, forma parte de la factorial y se simplifican términos.$ Mensaje modificado por OckUC el Sep 14 2009, 12:13 AM -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

sdfdsv Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2009, 12:15 AM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 445 Registrado: 29-April 07 Miembro Nº: 5.510 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Me referia a la ultima parte, donde sale sin factorial: $TEX: $\displaystyle \frac{k!}{(k-6)!}\cdot\frac{(k+1)}{k-5}=P$$ edit: Ahi editaste, me quedo claro Mensaje modificado por sdfdsv el Sep 14 2009, 12:17 AM

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2009, 11:22 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La solución de OckUC no es correcta. Además, dudo que una inducción aplicada de esta manera nos permita solucionar el problema. Es verdad que el producto de seis números consecutivos siempre es múltiplo de 720 (y este números es el mayor que podemos escribir), pero la explicación dada por OckUC no justifica que el "factor" k-5 sea simplificado con k+1 y con $TEX: $\dfrac{k!}{(k-6)!}$$ Así que el problema será devuelto a la sección P1-P40 y sugiero que busquen una solución por otro camino -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 12 2009, 11:25 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	el conjunto {0,1,2,3,4,5} es un sistema completo de residuos mod6. asi q al menos uno de ellos debe ser multiplo de 6, por otro lado hay siempre exactamente 1 multiplo de 5 en 6 consecutivos, 1 de 4, 2 de 3, 3 de 2. El multiplo de 6 es de 2 y 3, asi que les quito uno a cada uno, el de 4 es tambien divisible por 2, asi que nos queda: 6---->1 5---->1 4---->1 3---->1 2---->1 asi que siempre es divisible al menos por 6! Mensaje modificado por Kaissa el Nov 12 2009, 02:42 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

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